卷第一 方田以御田畴界域
第一卷 方田——用于管理田地的边界和区域
〔一〕今有田广十五步，从十六步。问：为田几何？
〔一〕现有田地，宽十五步，长十六步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一亩。
答：一亩。
〔二〕又有田广十二步，从十四步。问：为田几何？
〔二〕又有田地，宽十二步，长十四步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一百六十八步。〈图：从十四，广十二。〉
答：一百六十八平方步。（图：长十四，宽十二。）
方田术曰：广从步数相乘得积步。〈此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。臣淳风等谨按：经云「广从相乘得积步」，注云「广从相乘谓之幂」，观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乘积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释存善去非，略为料简，遗诸后学。〉以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。〈臣淳风等谨按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。按︰一亩田，广十五步，从而疏之，令为十五行，即每行广步而从十六步。又横而截之，令为十六行，即每行广一步而从十五步。此即广从相乘得积步，验矣。二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〉
方田的计算方法：将宽和长的步数相乘，得到总平方步数。（这个“积”指的是田地的面积。凡是宽和长相乘，就称为“幂”。臣李淳风等人谨按：经文说“广从相乘得积步”，注释说“广从相乘谓之幂”，看这注释的意思，似乎“积”和“幂”含义相同。但按道理推究，本不应当如此。为什么呢？“幂”是平面单一铺开的名称，“积”是众多数量聚集的总称。根据名称考察实际，两者完全不同。虽然想等同它们，我私下认为不可行。现在，凡是说“幂”的，是指宽和长中的一方；说“积”的，是指所有步数的总和。经文说“相乘得积步”，就是总和数的明确表述。注释说称之为“幂”，完全违背了“积步”的本意。这个注释前面说“积为田幂”，在道理上还说得通；后面又说“谓之为幂”，就繁琐而不恰当了。现在的注释保留正确的、去掉错误的，简略地加以整理，留给后来的学者。）用每亩的法定步数二百四十步去除，就得到亩数。一百亩为一顷。（臣李淳风等人谨按：这是篇首，所以特别举出“顷”和“亩”两种单位。其他计算方法不再说明的，从这里可以推知。按：一亩田，宽十五步，把它纵向分开，分成十五行，那么每行宽一步、长十六步。再横向截开，分成十六行，那么每行宽一步、长十五步。这就是宽长相乘得到总平方步数的验证。二百四十步是亩的法定数；一百亩是顷的法定数。所以用它们来除，就得到结果。）
〔三〕今有田广一里，从一里。问：为田几何？
〔三〕现有田地，宽一里，长一里。问：这块田的面积是多少？
荅曰：三顷七十五亩。
答：三顷七十五亩。
〔四〕又有田广二里，从三里。问：为田几何？
〔四〕又有田地，宽二里，长三里。问：这块田的面积是多少？
荅曰：二十二顷五十亩。
答：二十二顷五十亩。
里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。〈按：此术广从里数相乘得积里。故方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。〉
里田的计算方法：将宽和长的里数相乘，得到总平方里数。用三百七十五乘这个数，就得到亩数。（按：这个方法是将宽和长的里数相乘得到总平方里数。因为一平方里中有三顷七十五亩，所以用它来乘，就得到亩数。）
〔五〕今有十八分之十二。问：约之得几何？
〔五〕现有十八分之十二。问：约简后得到多少？
荅曰：三分之二。
答：三分之二。
〔六〕又有九十一分之四十九。问：约之得几何？
〔六〕又有九十一分之四十九。问：约简后得到多少？
荅曰：十三分之七。
答：十三分之七。
约分〈约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之。分之为数，繁则难用。设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也。虽则异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〉术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。〈等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〉
约分（约分，是因为事物的数量，不可能都是整数，必须用分数来表示。分数作为数，太繁琐就难以使用。假设有“四分之二”，繁琐地说，也可以写成“八分之四”；简略地说，就是“二分之一”。虽然说法不同，但作为数值，结果是相同的。分子和分母相互推算，常常有差异，所以做计算的人先处理各种分数。）计算方法：可以折半的就折半；不能折半的，另外列出分母和分子的数值，用较小的数减去较大的数，反复相减，直到得到相等的数。用这个相等的数来约简。（用相等的数约简，就是除法。之所以要相减，是因为这些数都是相等数的倍数，所以用相等数来约简。）
〔七〕今有三分之一，五分之二。问：合之得几何？
〔七〕现有三分之一和五分之二。问：把它们相加得到多少？
荅曰：十五分之十一。
答：十五分之十一。
〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。问：合之得几何？
〔八〕又有三分之二、七分之四和九分之五。问：把它们相加得到多少？
荅曰：得一、六十三分之五十。
答：得到一又六十三分之五十。
〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问：合之得几何？
〔九〕又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四。问：把它们相加得到多少？
荅曰：得二、六十分之四十三。
答：得到二又六十分之四十三。
合分〈臣淳风等谨按︰合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差，麄细既殊，理难从一。故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〉术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法。〈母互乘子：约而言之者，其分麄；繁而言之者，其分细。虽则麄细有殊，然其实一也。众分错难，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其筭之纲纪乎。其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〉实如法而一。不满法者，以法命之。〈今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〉其母同者，直相从之。
合分（臣李淳风等人谨按：合分，是因为数值不止一种，分数没有固定标准，各个分子相互混杂，各个分母参差不齐，粗细既然不同，道理上难以统一。所以使各个分数齐一，使它们的分母相同，让它们可以相加，所以叫“合分”。）计算方法：将各个分母互相乘以对方的分子，把结果相加作为被除数（实），将各个分母相乘作为除数（法）。（分母互乘分子：简略地说，分数就粗；繁琐地说，分数就细。虽然粗细不同，但实际数值是一样的。各个分数交错复杂，不细化就不能会合。通过乘法将它们分散，是为了通分。通分后就可以相加了。凡是分母互乘分子叫做“齐”，各个分母相乘叫做“同”。“同”是指相互通同，共用一个分母；“齐”是指分子与分母相齐，势必要不丢失本来的数值。方以类聚，物以群分。同类的数无论多远都能相通；异类的数无论多近都不能合并。远的数通过通分可以知道，虽然位置不同却能相互跟随；近的数如果形式不同，虽然同列却相互违背。所以“同”的方法很重要：错综复杂的度数，一操作就能和谐，就像用锥子解开绳结，没有哪里不条理清晰。用乘法来分散，用约分来聚合，用齐同来通分，这大概是计算的纲领吧。其中一种方法，可以让分母相除得到比率，用比率乘分子得到齐。）用被除数除以除数。如果不够除，就用除数来命名分数。（现在想求实际数值，所以使分子齐一，又使分母相同，让它们像分母一样统一。其余部分用等数约简，就得到结果，这就是所谓的以相同的分母为分母，以余数为分子，都按这个例子处理。）如果分母相同，就直接相加。
〔一〇〕今有九分之八，减其五分之一。问：余几何？
〔一〇〕现有九分之八，减去它的五分之一。问：剩下多少？
荅曰：四十五分之三十一。
答：四十五分之三十一。
〔一一〕又有四分之三，减其三分之一。问：余几何？
〔一一〕又有四分之三，减去它的三分之一。问：剩下多少？
荅曰：十二分之五。
答：十二分之五。
减分〈臣淳风等谨按︰诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰减分。〉术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。〈「母互乘子」知，以齐其子也，「以少减多」知，齐故可相减也。「母相乘为法」者，同其母。母同子齐，故如母而一，即得。〉
减分（臣李淳风等人谨按：各个分子和分母的数值各不相同，用较小的减去较大的，想知道剩下多少，将减后的余数作为被除数，所以叫“减分”。）计算方法：将各个分母互相乘以对方的分子，用较小的结果减去较大的结果，余数作为被除数（实）。将各个分母相乘作为除数（法）。用被除数除以除数。（“分母互乘分子”是为了使分子齐一；“用较小的减去较大的”是因为齐一后就可以相减了。“分母相乘作为除数”是为了使分母相同。分母相同、分子齐一，所以像分母一样统一，就得到结果。）
〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。问：孰多？多几何？
〔一二〕现有八分之五和二十五分之十六。问：哪个大？大多少？
荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
答：二十五分之十六大，大二百分之三。
〔一三〕又有九分之八，七分之六。问：孰多？多几何？
〔一三〕又有九分之八和七分之六。问：哪个大？大多少？
荅曰：九分之八多，多六十三分之二。
答：九分之八大，大六十三分之二。
〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。问：孰多？多几何？
〔一四〕又有二十一分之八和五十分之十七。问：哪个大？大多少？
荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
答：二十一分之八大，大一千五十分之四十三。
课分〈臣淳风等谨按︰分各异名，理不齐一，校其相多之数，故曰课分也。〉术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。〈臣淳风等谨按︰此术母互乘子，以少分减多分。按：此术多与减分义同。唯相多之数，意共减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〉
课分（臣李淳风等人谨按：分数名称各异，道理不统一，比较它们之间相差的数值，所以叫“课分”。）计算方法：将各个分母互相乘以对方的分子，用较小的结果减去较大的结果，余数作为被除数（实）。将各个分母相乘作为除数（法）。用被除数除以除数，就得到相差的数值。（臣李淳风等人谨按：这个方法是用分母互乘分子，然后用较小的分数减去较大的分数。按：这个方法大多与减分含义相同。只是相差的数值，意思与减分有区别：减分是求剩下的数值有多少；课分是用剩下的数值来比较相差多少。）
〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？
〔一五〕现有三分之一、三分之二和四分之三。问：从多的里面减去多少，加到少的里面，各是多少才能平衡？
荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。
答：从四分之三中减去两份，从三分之二中减去一份，将这两份合并，加到三分之一中，这样每个分数都平衡为十二分之七。
〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。问：减多益少，各几何而平？
〔一六〕又有二分之一、三分之二和四分之三。问：从多的里面减去多少，加到少的里面，各是多少才能平衡？
荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
答：从三分之二中减去一份，从四分之三中减去四份，将这两部分合并，加到二分之一中，这样每个分数都平衡为三十六分之二十三。
平分〈臣淳风等谨按︰平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。〉术曰：母互乘子，〈齐其子也。〉副并为平实。〈臣淳风等谨按︰母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，限为平。〉母相乘为法。〈「母相乘为法」知，亦齐其子，又同其母。〉以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。〈此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。臣淳风等谨又按︰问︰云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可预定多少，故直云列数而已。〉以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。
平分（臣李淳风等人谨按：平分，是因为各个分数参差不齐，想让它们相等，减少多的，增加少的，所以叫“平分”。）计算方法：将各个分母互相乘以对方的分子，（这是为了使分子齐一。）另外将结果相加作为平分的被除数（平实）。（臣李淳风等人谨按：分母互乘分子，另外相加作为平实，是确定这个平实作为主要界限，各个分子应当增减的数值，以这个界限作为平衡的标准。）将各个分母相乘作为除数（法）。（“分母相乘作为除数”是为了也使分子齐一，又使分母相同。）用分数的个数乘以未相加的各个结果，各自作为列实。也用分数的个数乘以除数。（这应当另外用分数的个数去除平实，如果这样就会产生重分，所以反过来用分数的个数乘以同齐后的数。臣李淳风等人又按：问题说，所要平衡的分数数量不定，有时三个有时两个，位置没有固定。平衡三个时，设置三个位置；平衡两个时，设置两个位置。凡是这类例子，一律按照平分的方法，不能预先确定数量，所以只说“列数”而已。）用平实减去列实，余数，约简后作为减去的数值。将减去的数值合并，加到少的分数中。用除数来命名平实，各个分数就各自得到平衡。
〔一七〕今有七人，分八钱三分钱之一。问：人得几何？
〔一七〕现有七个人，分八又三分之一钱。问：每人得到多少？
荅曰：人得一钱、二十一分钱之四。
答：每人得到一又二十一分之四钱。
〔一八〕又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问：人得几何？
〔一八〕又有三又三分之一个人，分六又三分之一钱和四分之三钱。问：每人得到多少？
荅曰：人得二钱、八分钱之一。
答：每人得到二又八分之一钱。
经分〈臣淳风等谨按︰经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以人数分所分，故曰经分也。〉术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之；〈母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母；以母通之者，分母乘全内子。乘，散全则为积分，积分则与分子相通之，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，自相与通。有分则可散，分重叠则约也。等除法实，相与率也。故散分者，必令两分母相乘法实也。〉重有分者同而通之。〈又以法分母乘，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内子，又令分母互乘上下。〉
经分（臣李淳风等人谨按：经分，是从合分以下，都与各个分数相齐，这是直接求一个人的份额。用人数来分所分的总数，所以叫“经分”。）计算方法：以人数作为除数（法），以钱数作为被除数（实），用被除数除以除数。如果有分数，就通分；（分母互乘分子，是为了使分子齐一；分母相乘，是为了使分母相同；用分母通分，是用分母乘以整数部分再纳入分子。乘，是将整数分散为积分，积分就能与分子相通，所以可以让它们合并。凡是相互关联的数叫做“率”。“率”是相互通连的。有分数就可以分散，分数重叠就可以约简。用等数除被除数和除数，就得到相互关联的率。所以分散分数，必须让两个分母分别乘被除数和除数。）如果有重分，就统一通分。（再用除数的分母乘被除数，用被除数的分母乘除数。这是说除数和被除数都有分数，所以让分母分别乘以整数部分再纳入分子，又让分母互相乘上下。）
〔一九〕今有田广七分步之四，从五分步之三。问：为田几何？
〔一九〕现有田地，宽七分之四步，长五分之三步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：三十五分步之十二。
答：三十五分步之十二。
〔二〇〕又有田广九分步之七，从十一分步之九。问：为田几何？
〔二〇〕又有田地，宽九分之七步，长十一分之九步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：十一分步之七。
答：十一分步之七。
〔二一〕又有田广五分步之四，从九分步之五，问：为田几何？
〔二一〕又有田地，宽五分之四步，长九分之五步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：九分步之四。
答：九分步之四。
乘分〈臣淳风等谨按︰乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〉术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。〈凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃为全取。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各当报除，因令分母札乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问︰者曰︰马二十匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？荅曰︰三十五分斤之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五匹，直金三斤。今卖四匹，七人分之，人得几何？荅曰︰人得三十五分斤之十二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问︰入于经分矣。然则分子相乘为实者，犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生，所从言之异，而计数则三术同归也。〉
乘分〈臣李淳风等人恭敬地按：乘分的方法，是把分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数，所以称为乘分。〉计算方法：分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数，被除数除以除数得到结果。〈凡是遇到被除数不够除数的情况，就会保留分子和分母的名称。如果出现分数，用分数乘以被除数使其增大，那么也能达到除数的标准，从而成为整数。又因为分子有所乘的数，所以分母应当相应地去除。所谓“报除”，就是被除数除以除数。现在分子相乘，那么各个分母应当各自去除，因此让分母依次相乘并连续去除。这里田地有长和宽，难以用宽来举例说明。假设有人问：有马二十匹，价值十二斤金。现在卖掉这二十匹马，由三十五人分钱，每人分得多少？答案是：每人分得三十五分斤之十二。计算时，应当像经分的方法那样，把十二斤金作为被除数，三十五人作为除数。再假设说：有五匹马，价值三斤金。现在卖掉四匹，由七人分钱，每人分得多少？答案是：每人分得三十五分斤之十二。计算时，应当使金和人的数量对齐，都符合最初的问题，从而纳入经分的方法。那么，分子相乘作为被除数，就像对齐金的数量；分母相乘作为除数，就像对齐人的数量。使分母相同为二十，马的数量不需要相同，只是想要达到对齐的目的。另外，五匹马价值三斤金，这是完整的比率；分开来说，就是一匹马价值五分斤之三的金。七人卖四匹马，每人卖七分马之四。金和人的数量相互关联，虽然表述方式不同，但计算的结果三种方法都归于一致。〉
〔二二〕今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问：为田几何？
〔二二〕现在有一块田，宽为三步又三分之一步，长为五步又五分之二步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：十八步。
答案是：十八平方步。
〔二三〕又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问：为田几何？
〔二三〕又有一块田，宽为七步又四分之三步，长为十五步又九分之五步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一百二十步、九分步之五。
答案是：一百二十步又九分之五平方步。
〔二四〕又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问：为田几何？
〔二四〕又有一块田，宽为十八步又七分之五步，长为二十三步又十一分之六步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一亩二百步、十一分步之七。
答案是：一亩又二百步又十一分之七平方步。
大广田〈臣淳风等谨按︰大广田知,初术直全步而无余；次术空有余分而无全步；此术先见全步复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〉术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。〈犹乘分也。〉实如法而一。〈今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令「分母相乘为法」而连除之。〉
大广田〈臣李淳风等人恭敬地按：大广田的方法，第一种方法直接使用整数步而没有余数；第二种方法只有余数而没有整数步；这种方法先有整数步又有余数，可以广泛涵盖前两种方法，所以称为大广。〉计算方法：分母各自乘以它们的整数部分，分子跟随其后，相乘得到被除数。分母相乘作为除数。〈如同乘分的方法。〉被除数除以除数得到结果。〈现在这种方法中，长和宽都有分数，应当各自通分。让分母进入计算后，还需要将其取出，所以让“分母相乘作为除数”并连续去除。〉
〔二五〕今有圭田广十二步，正从二十一步。问：为田几何？
〔二五〕现在有一块圭形田，宽为十二步，正长为二十一步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一百二十六步。
答案是：一百二十六平方步。
〔二六〕又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问：为田几何？
〔二六〕又有一块圭形田，宽为五步又二分之一步，长为八步又三分之二步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：二十三步、六分步之五。
答案是：二十三步又六分之五平方步。
术曰：半广以乘正从。〈半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〉
计算方法：取宽的一半乘以正长。〈取宽的一半，是为了用多余的部分补足空缺，形成直田。也可以取正长的一半乘以宽。按：取宽的一半乘以长，是为了得到平均的数值，所以宽和长相乘得到积步。用亩法去除，就得到结果。〉
〔二七〕今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问：为田几何？
〔二七〕现在有一块斜田，一头宽三十步，另一头宽四十二步，正长为六十四步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：九亩一百四十四步。
答案是：九亩又一百四十四平方步。
〔二八〕又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问：为田几何？
〔二八〕又有一块斜田，正宽为六十五步，一边长为一百步，另一边长为七十二步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：二十三亩七十步。
答案是：二十三亩又七十平方步。
术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。〈并而半之者，以盈补虚也。〉
计算方法：将两头的宽相加并取一半，乘以正长或正宽。也可以取正长或正宽的一半，乘以两宽的和。用亩法去除得到结果。〈相加并取一半，是为了用多余的部分补足空缺。〉
〔二九〕今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问：为田几何？
〔二九〕现在有一块箕形田，舌宽为二十步，踵宽为五步，正长为三十步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一亩一百三十五步。
答案是：一亩又一百三十五平方步。
〔三〇〕又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问：为田几何？
〔三〇〕又有一块箕形田，舌宽为一百一十七步，踵宽为五十步，正长为一百三十五步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：四十六亩二百三十二步半。
答案是：四十六亩又二百三十二步半平方步。
术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。〈中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从以乘之。〉
计算方法：将踵宽和舌宽相加并取一半，乘以正长。用亩法去除得到结果。〈将箕形田从中间分开，就得到两块斜田，所以计算方法相似。也可以将踵宽和舌宽相加，取正长的一半再相乘。〉
〔三一〕今有圆田，周三十步，径十步。〈臣淳风等谨按︰术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径九步十一分步之六。〉问：为田几何？
〔三一〕现在有一块圆形田，周长为三十步，直径为十步。〈臣李淳风等人恭敬地按：计算方法以周长三直径一为比率，周长三十步，对应直径十步。现在按照精确比率，对应直径九步又十一分之六步。〉问：这块田的面积是多少？
荅曰：七十五步。〈此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。臣淳风等谨依密率，为田七十一步二十二分步之一十三。〉
答案是：七十五平方步。〈这在刘徽的方法中，应当是七十一步又一百五十七分之一百零三平方步。臣李淳风等人恭敬地按照精确比率，为七十一步又二十二分之十三平方步。〉
〔三二〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。〈臣淳风等谨按︰周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，径五十七步二十二分步之十三。〉问：为田几何？
〔三二〕又有一块圆形田，周长为一百八十一步，直径为六十步又三分之一步。〈臣李淳风等人恭敬地按：周长三直径一，周长一百八十一步，直径六十步又三分之一步。按照精确比率，直径为五十七步又二十二分之十三步。〉问：这块田的面积是多少？
荅曰：十一亩九十步十二分步之一。〈此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百一。臣淳风等谨依密率，为田十亩二百步八十八分步之八十七。〉
答案是：十一亩又九十步又十二分之一平方步。〈这在刘徽的方法中，应当是十亩又二百零八步又三百一十四分之一百零一平方步。臣李淳风等人恭敬地按照精确比率，为十亩又二百步又八十八分之八十七平方步。〉
术曰：半周半径相乘得积步。〈按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故置诸检括，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六牦二秒五忽五分忽之二。以减半径，余一寸三分三牦九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五牦九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，余三分四牦七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一牦四毫四秒四忽五分忽之四。以减半径，余八牦五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七牦八毫五秒八忽十分忽之九。以减半径，余二牦一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除之，得小弦六分五牦四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。按：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九牦五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。臣淳风等按：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。〉
计算方法：用半周乘以半径得到面积（积步）。〈按：半周相当于长，半径相当于宽，所以长宽相乘得到面积。假设圆直径为二尺，圆内接正六边形的一边长度与半径相等，符合直径为一、周长为三的比例。又按：画图，用正六边形的一边乘以弧的半径，再乘以三，得到正十二边形的面积。如果再分割，用正十二边形的一边乘以弧的半径，再乘以六，就得到正二十四边形的面积。分割得越细，误差就越小。不断分割，直到无法再分割，就与圆周完全重合而没有误差了。正多边形边长之外还有余径。用边长乘以余径，面积会超出多边形边界。如果多边形足够细密，与圆合为一体，那么边界外就没有余径。没有余径，面积就不会超出。用一边乘以半径，每次分割后面积都加倍。所以用半周乘以半径得到圆的面积。这里的圆周率与直径，是精确的数值，不是周三径一的近似率。周三径一只是正六边形的情况。用它来推算圆规的度量差异，就像弓和弦的关系。然而世人流传这种方法，没有人肯精确核算；学者沿袭古法，习惯了其中的错误。没有明确的依据，很难辨析清楚。凡是物体的形状，不是圆就是方。方圆的比例，在近处明显，那么远处也可以推知。由此说来，它的用途很广泛。谨按图形验证，重新制定精确的圆周率。恐怕空设方法，数值晦涩难以说明，所以放在检验中，详细记录注释。分割正六边形为正十二边形的方法：设圆直径为二尺，一半为一尺，这就是圆内接正六边形的边长。令半径一尺为弦，半边长五寸为勾，求股。用勾的平方二十五寸减去弦的平方，剩余七十五寸，开平方，计算到秒、忽。再用退位法，求其微数。微数没有名称，作为分子，以十为分母，约简为五分忽之二。所以得到股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。用它减去半径，剩余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，称为小勾。正六边形的半边长又称为小股。求其弦。弦的平方为二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余数舍弃。开平方，就是正十二边形的一边长。分割正十二边形为正二十四边形的方法：同样令半径为弦，半边长（即正十二边形边长的一半）为勾，求股。取上面小弦的平方，除以四，得到六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余数舍弃，这就是勾的平方。用它减去弦的平方，剩余部分开平方，得到股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。用它减去半径，剩余三分四厘七秒四忽五分忽之一，称为小勾。正十二边形的半边长又称为小股。求其小弦。小弦的平方为六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余数舍弃。开平方，就是正二十四边形的一边长。分割正二十四边形为正四十八边形的方法：同样令半径为弦，半边长（即正二十四边形边长的一半）为勾，求股。取上面小弦的平方，除以四，得到一百七十亿三千七百零八万七千三百六十六忽，余数舍弃，这就是勾的平方。用它减去弦的平方，剩余部分开平方，得到股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。用它减去半径，剩余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，称为小勾。正二十四边形的半边长又称为小股。求其小弦。小弦的平方为一百七十一亿一千零二十七万八千八百一十三忽，余数舍弃。开平方，得到小弦一寸三分八毫六忽，余数舍弃，这就是正四十八边形的一边长。用半径一尺乘以它，再乘以二十四，得到面积三万一千三百九十三亿四千四百万忽。除以一百亿，得到面积三百一十三寸又六百二十五分之五百八十四寸，这就是正九十六边形的面积。分割正四十八边形为正九十六边形的方法：同样令半径为弦，半边长（即正四十八边形边长的一半）为勾，求股。取上面小弦的平方，除以四，得到四十二亿七千七百五十六万九千七百零三忽，余数舍弃，这就是勾的平方。用它减去弦的平方，剩余部分开平方，得到股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。用它减去半径，剩余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，称为小勾。正四十八边形的半边长又称为小股。求其小弦。小弦的平方为四十二亿八千二百一十五万四千零一十二忽，余数舍弃。开平方，得到小弦六分五厘四毫三秒八忽，余数舍弃，这就是正九十六边形的一边长。用半径一尺乘以它，再乘以四十八，得到面积三万一千四百一十亿二千四百万忽，除以一百亿，得到面积三百一十四寸又六百二十五分之六十四寸，这就是正一百九十二边形的面积。用正九十六边形的面积减去它，剩余六百二十五分之一百零五寸，称为差幂。加倍，为六百二十五分之二百一十寸，这就是正九十六边形外弧田九十六块的总面积，即用弦乘以矢的总面积。把这个面积加到正九十六边形的面积上，得到三百一十四寸又六百二十五分之一百六十九寸，这就超出了圆的边界。所以还是用正一百九十二边形的完整面积三百一十四寸作为圆面积的定率，舍弃余分。用半径一尺除以圆面积，再乘以二，得到六尺二寸八分，这就是周长。让直径自乘得到正方形面积四百寸，与圆面积比较，圆面积取一百五十七为率，正方形面积取二百为率。正方形面积二百中容纳圆面积一百五十七。圆周率仍然略小。按：弧田图让正方形中容纳圆，圆中容纳正方形，内接正方形的面积是外接正方形的一半。那么圆面积一百五十七，其中容纳正方形面积一百。又让直径二尺与周长六尺二寸八分相约，周长得一百五十七，直径得五十，这就是它们的比例。圆周率仍然略小。晋朝武库中汉朝王莽制作的铜斛，其铭文说：律嘉量斛，内方一尺而外圆，庣旁九厘五毫，面积一百六十二寸，深一尺，容积一千六百二十寸，容量十斗。用这种方法计算，得到面积一百六十一寸有余，数值相近。这种方法略小。而觚差幂为六百二十五分之一百零五寸。以正一百九十二边形的面积为基准调整，应当取这个分数的三十六，加到正一百九十二边形的面积上，作为圆面积，即三百一十四寸又二十五分之四寸。设直径自乘的正方形面积四百寸，与圆面积通分相约，圆面积得三千九百二十七，正方形面积得五千，这就是比例。正方形面积五千中容纳圆面积三千九百二十七；圆面积三千九百二十七中容纳正方形面积二千五百。用半径一尺除以圆面积三百一十四寸又二十五分之四寸，再乘以二，得到六尺二寸八分又二十五分之八分，这就是周长。全直径二尺与周长通分相约，直径得一千二百五十，周长得三千九百二十七，这就是它们的比例。像这样，大概穷尽了细微之处。拿来使用，上面的方法仍然简便。应当求正一千五百三十六边形的一边长，得到正三千零七十二边形的面积，再裁去其微分，数值也应当如此，重在验证。臣淳风等按：旧方法求圆，都用周三径一为比例。如果用这种方法求圆周的数值，则周长偏少、直径偏多。〉
又术曰：周径相乘，四而一。
另一种方法：周长和直径相乘，再除以四。
又术曰：径自相乘，三之，四而一。
另一种方法：直径自乘，乘以三，再除以四。
又术曰：周自相乘，十二而一。
另一种方法：周长自乘，再除以十二。
〔三三〕今有宛田，下周三十步，径十六步。问：为田几何？
〔三三〕现在有一块宛田，下底周长三十步，直径十六步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一百二十步。
答案：一百二十平方步。
〔三四〕又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问：为田几何？
〔三四〕又有一块宛田，下底周长九十九步，直径五十一步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：五亩六十二步、四分步之一。
答案：五亩六十二又四分之一平方步。
术曰：以径乘周，四而一。
计算方法：用直径乘以周长，再除以四。
〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。问：为田几何？
〔三五〕现在有一块弧田，弦长三十步，矢长十五步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：一亩九十七步半。
答案：一亩九十七点五平方步。
〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问：为田几何？
〔三六〕又有一块弧田，弦长七十八又二分之一步，矢长十三又九分之七步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。
答案：二亩一百五十五又八十一分之五十六平方步。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
计算方法：用弦乘以矢，矢再自乘，两者相加，再除以二。
〔三七〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问：为田几何？
〔三七〕现在有一块环田，内周长九十二步，外周长一百二十二步，径（宽度）五步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：二亩五十五步。
答案：二亩五十五平方步。
〔三八〕又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问：为田几何？
〔三八〕又有一块环田，内周长六十二又四分之三步，外周长一百一十三又二分之一步，径（宽度）十二又三分之二步。问：这块田的面积是多少？
荅曰：四亩一百五十六步、四分步之一。
答案：四亩一百五十六又四分之一平方步。
术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。
计算方法：将内周长和外周长相加再除以二，用这个结果乘以径（宽度），得到积步（面积）。
密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。
精确计算方法：列出内外周长的步数，分母和分子分别放在下面。分母与分子互乘，将整数步数通分，并入分子。用内周长减外周长，将余数除以二，加到内周长上。径（宽度）也通分并入分子，用这个结果乘以调整后的周长作为被除数。分母相乘作为除数，相除得到积步，余数作为积步的分数部分。再用亩法（每亩二百四十平方步）去除，就得到亩数。