卷第四 少广
卷第四 少广
少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。
少广的计算方法：将整数步和各个分数（分子和分母）列出，用最下面的分母（即最大的分母）分别乘以各个分子和整数步，然后每个分数用自己的分母去除自己的分子，将结果放在左边。对于需要通分的数，再用分母分别乘以各个分子，以及已经通分的数，使它们都通分并统一，将这些数相加作为除数。放置所求的步数，用整数步的积分乘以它作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔一〕今有田广一步半。求田一亩，问︰从几何？
（一）现在有一块田，宽是一步半。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：一百六十步。
答案：一百六十步。
术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有“半”，就是二分之一。将一化为二，半化为一，相加得到三，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为二来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔二〕今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（二）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：一百三十步、一十一分步之一十。
答案：一百三十步又十一分之十步。
术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有三分，将一化为六，半化为三，三分之一化为二，相加得到十一作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为六来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔三〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（三）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：一百一十五步、五分步之一。
答案：一百一十五步又五分之一步。
术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。
计算方法：下面有四分，将一化为十二，半化为六，三分之一化为四，四分之一化为三，相加得到二十五，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为十二来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔四〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（四）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。
答案：一百五步又一百三十七分之十五步。
术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有五分，将一化为六十，半化为三十，三分之一化为二十，四分之一化为十五，五分之一化为十二，相加得到一百三十七，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为六十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔五〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（五）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：九十七步、四十九分步之四十七。
答案：九十七步又四十九分之四十七步。
术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有六分，将一化为一百二十，半化为六十，三分之一化为四十，四分之一化为三十，五分之一化为二十四，六分之一化为二十，相加得到二百九十四作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为一百二十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔六〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（六）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。
答案：九十二步又一百二十一分之六十八步。
术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有七分，将一化为四百二十，半化为二百一十，三分之一化为一百四十，四分之一化为一百零五，五分之一化为八十四，六分之一化为七十，七分之一化为六十，相加得到一千零八十九，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为四百二十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔七〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（七）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。
答案：八十八步又七百六十一分之二百三十二步。
术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有八分，将一化为八百四十，半化为四百二十，三分之一化为二百八十，四分之一化为二百一十，五分之一化为一百六十八，六分之一化为一百四十，七分之一化为一百二十，八分之一化为一百零五，相加得到二千二百八十三，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为八百四十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔八〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（八）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
答案：八十四步又七千一百二十九分之五千九百六十四步。
术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有九分，将一化为二千五百二十，半化为一千二百六十，三分之一化为八百四十，四分之一化为六百三十，五分之一化为五百零四，六分之一化为四百二十，七分之一化为三百六十，八分之一化为三百一十五，九分之一化为二百八十，相加得到七千一百二十九，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为二千五百二十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔九〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（九）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步、十分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
答案：八十一步又七千三百八十一分之六千九百三十九步。
术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有十分，将一化为二千五百二十，半化为一千二百六十，三分之一化为八百四十，四分之一化为六百三十，五分之一化为五百零四，六分之一化为四百二十，七分之一化为三百六十，八分之一化为三百一十五，九分之一化为二百八十，十分之一化为二百五十二，相加得到七千三百八十一，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为二千五百二十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔一〇〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（十）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步、十分之一步、十一分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
答案：七十九步又八万三千七百一十一分之三万九千六百三十一步。
术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有十一分，将一化为二万七千七百二十，半化为一万三千八百六十，三分之一化为九千二百四十，四分之一化为六千九百三十，五分之一化为五千五百四十四，六分之一化为四千六百二十，七分之一化为三千九百六十，八分之一化为三千四百六十五，九分之一化为三千零八十，十分之一化为二千七百七十二，十一分之一化为二千五百二十，相加得到八万三千七百一十一，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为二万七千七百二十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔一一〕今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问︰从几何？
（十一）现在有一块田，宽是一步半、三分之一步、四分之一步、五分之一步、六分之一步、七分之一步、八分之一步、九分之一步、十分之一步、十一分之一步、十二分之一步。要得到一亩田，问：纵长是多少？
荅曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。
答案：七十七步又八万六千二十一分之二万九千一百八十三步。
术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。
计算方法：下面有十二分，将一化为八万三千一百六十，半化为四万一千五百八十，三分之一化为二万七千七百二十，四分之一化为二万零七百九十，五分之一化为一万六千六百三十二，六分之一化为一万三千八百六十，七分之一化为一万一千八百八十，八分之一化为一万零三百九十五，九分之一化为九千二百四十，十分之一化为八千三百一十六，十一分之一化为七千五百六十，十二分之一化为六千九百三十，相加得到二十五万八千零六十三，作为除数。放置田的二百四十步，也将一化为八万三千一百六十来乘它，作为被除数。被除数除以除数，就得到纵步。
〔一二〕今有积五万五千二百二十五步。问︰为方几何？
（十二）现在有面积五万五千二百二十五平方步。问：作为正方形，边长是多少？
荅曰：二百三十五步。
答案：二百三十五步。
〔一三〕又有积二万五千二百八十一步。问︰为方几何？
（十三）又有面积二万五千二百八十一平方步。问：作为正方形，边长是多少？
荅曰：一百五十九步。
答案：一百五十九步。
〔一四〕又有积七万一千八百二十四步。问︰为方几何？
（十四）又有面积七万一千八百二十四平方步。问：作为正方形，边长是多少？
荅曰：二百六十八步。
答案：二百六十八步。
〔一五〕又有积五十六万四千七百五十二步、四分步之一。问︰为方几何？
（十五）又有面积五十六万四千七百五十二又四分之一平方步。问：作为正方形，边长是多少？
荅曰：七百五十一步半。
答案：七百五十一步半。
〔一六〕又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问︰为方几何？
（十六）又有面积三十九亿七千二百一十五万零六百二十五平方步。问：作为正方形，边长是多少？
荅曰：六万三千二十五步。
答案：六万三千零二十五步。
开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。
开平方的方法：将面积作为被开方数。借一个算筹来定位，每两位跳一级。估计所得的结果，用这个估计数乘以所借的一个算筹作为除数，然后进行除法。除完后，将除数加倍作为定法。再进行下一步除法。将除数折半并下移。重新放置借算筹来定位，如同开始时一样，再用新的估计数乘以它，所得的结果作为副数，加到定法上，再进行除法。将所得的副数加到定法上。重复除法和折半下移的步骤，如同前面一样。如果开方开不尽，就是不可开，应当用边长（带分数）来表示。如果被开方数有分数，将分数通分后并入分子作为定实的被开方数。然后进行开方，完成后，再开分母的平方根并相除。如果分母不能开方，就用分母乘以定实的被开方数，再进行开方，完成后，再除以分母。
〔一七〕今有积一千五百一十八步、四分步之三。问︰为圆周几何？
（十七）现在有面积一千五百一十八又四分之三平方步。问：作为圆的周长是多少？
荅曰：一百三十五步。
答案：一百三十五步。
〔一八〕今有积三百步。问︰为圆周几何？
（十八）现在有面积三百平方步。问：作为圆的周长是多少？
荅曰：六十步。
答案：六十步。
开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。
开圆的计算方法：放置面积的步数，用十二乘以它，再用开平方的方法除它，就得到周长。
〔一九〕今有积一百八十六万八百六十七尺。问︰为立方几何？
（十九）现在有体积一百八十六万零八百六十七立方尺。问：作为立方体，边长是多少？
荅曰：一百二十三尺。
答案：一百二十三尺。
〔二〇〕今有积一千九百五十三尺、八分尺之一。问︰为立方几何？
（二十）现在有体积一千九百五十三又八分之一立方尺。问：作为立方体，边长是多少？
荅曰：一十二尺半。
答案：十二尺半。
〔二一〕今有积六万三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。问︰为立方几何？
（二十一）现在有体积六万三千四百零一又五百一十二分之四百四十七立方尺。问：作为立方体，边长是多少？
荅曰：三十九尺、八分尺之七。
答案：三十九尺又八分之七尺。
〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问︰为立方几何？
（二十二）又有体积一百九十三万七千五百四十一又二十七分之十七立方尺。问：作为立方体，边长是多少？
荅曰：一百二十四尺、太半尺。
答案：一百二十四尺又三分之二尺。
开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。
开立方的方法：将体积作为被开方数。借一个算筹来定位，每三位跳一级。估计所得的结果，用这个估计数的平方乘以所借的一个算筹作为除数，然后进行除法。除完后，将除数乘以三作为定法。再进行下一步除法，将除数折半并下移。用三乘以所得的结果放在中行。再借一个算筹放在下行。定位时，中行跳一级，下行跳两级。重新放置估计数，用这个数乘以中行，用它的平方乘以下行，都作为副数加到定法上。用定法进行除法。除完后，将下行的数加倍，并与中行的数合并加到定法上。重复除法和折半下移的步骤，如同前面一样。如果开方开不尽，也是不可开。如果体积有分数，将分数通分后并入分子作为定实的被开方数。定实然后进行开方，完成后，再开分母的立方根并相除。如果分母不能开方，就用分母的平方乘以定实的被开方数，再进行开方。完成后，再除以分母。
〔二三〕今有积四千五百尺。问︰为立圆径几何？
（二十三）现在有体积四千五百立方尺。问：作为球体，直径是多少？
荅曰：二十尺。
答案：二十尺。
〔二四〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问︰为立圆径几何？
（二十四）又有体积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百立方尺。问：作为球体，直径是多少？
荅曰：一万四千三百尺。
答案：一万四千三百尺。
开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。
开立圆的计算方法：放置体积的尺数，用十六乘以它，再除以九，将所得的结果用开立方的方法除它，就得到球体的直径。