卷五十一 ◄
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元史卷五十二
元史卷五十二
志第四
志第四
历一
历法一
夫明时治历，自黄帝、尧、舜与三代之盛王，莫不重之，其文备见于传记矣。虽去古既远，其法不详，然原其要，不过随时考验，以合于天而已。汉刘歆作三统历，始立积年日法，以为推步之准。后世因之，历唐而宋，其更元改法者，凡数十家，岂故相为乖异哉？盖天有不齐之运，而历为一定之法，所以既久而不能不差，既差则不可不改也。
阐明时节、治理历法，从黄帝、尧、舜以及夏、商、周三代的圣明君主，没有不重视的，其记载详尽地出现在史书传记中。虽然距离古代已经久远，其具体方法不详尽，但推究其要点，不过是随时观测验证，以符合天象运行而已。汉代刘歆创作《三统历》，开始确立积年和日法，作为推算的标准。后世沿袭这一做法，经过唐代到宋代，其间更改历元、改变历法的，共有几十家，难道是有意相互违背吗？这是因为天象有不均匀的运行，而历法是固定的法则，所以时间久了就不能不产生误差，有了误差就不能不加以修改。
元初承用金大明历，庚辰岁，太（宗）〔祖〕西征，[1]五月望，月蚀不效；二月、五月朔，微月见于西南。中书令耶律楚材以大明历后天，乃损节气之分，减周天之秒，去交终之率，治月转之余，课两曜之后先，调五行之出没，以正大明历之失。且以中元庚午岁，国兵南伐，而天下略定，推上元庚（子）〔午〕岁天正十一月壬戌朔，[2]子正冬至，日月合璧，五星联珠，同会虚宿六度，以应太祖受命之符。又以西域、中原地里殊远，创为里差以增损之，虽东西万里，不复差忒。遂题其名曰西征庚午元历，表上之，然不果颁用。
元朝初年沿用金朝的《大明历》，庚辰年，太祖西征，五月十五日，月食没有应验；二月和五月的初一，西南方出现微弱的月亮。中书令耶律楚材认为《大明历》落后于天象，于是减少节气的分数，缩减周天的秒数，去掉交终的比率，调整月亮运行的余数，考核太阳和月亮的先后次序，调和五行的出没，以纠正《大明历》的失误。并且以中元庚午年，国家军队南征，天下大致平定，推算上元庚午年天正十一月壬戌朔日，子时正冬至，日月合璧，五星连珠，同会于虚宿六度，以应验太祖受命的符兆。又因西域和中原地区地理距离遥远，创制了里差来增减调整，即使东西相距万里，也不再出现差错。于是将其命名为《西征庚午元历》，上表进呈，但最终没有颁布使用。
至元四年，西域札马鲁丁撰进万年历，世祖稍颁行之。十三年，平宋，遂诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都水少监郭守敬改治新历。衡等以为金虽改历，止以宋纪元历微加增益，实未尝测验于天，乃与南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等参考累代历法，复测候日月星辰消息运行之变，参别同异，酌取中数，以为历本。十七年冬至，历成，诏赐名曰授时历。十八年，颁行天下。二十年，诏太子谕德李谦为历议，发明新历顺天求合之微，考证前代人为附会之失，诚可以贻之永久，自古及今，其推验之精，盖未有出于此者也。今衡、恂、守敬等所撰历经及谦历议故存，皆可考据，是用具著于篇。惟万年历不复传，而庚午元历虽末尝颁用，其为书犹在，因附著于后，使来者有考焉。作历志。
至元四年，西域人札马鲁丁编撰进献《万年历》，世祖稍微颁布使用。至元十三年，平定宋朝，于是下诏命前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都水少监郭守敬修改制定新历法。许衡等人认为金朝虽然修改过历法，但只是对宋朝的《纪元历》稍加增补，实际上从未进行过天象观测验证，于是与南北方的日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等人参考历代历法，又观测日月星辰消长运行的变动，辨别异同，斟酌选取中间数值，作为历法的基础。至元十七年冬至，历法完成，下诏赐名为《授时历》。至元十八年，颁布通行天下。至元二十年，下诏命太子谕德李谦撰写历议，阐明新历顺应天象、力求符合的微妙之处，考证前代人为附会的失误，确实可以流传永久，从古至今，其推算验证的精确，大概没有超过这部历法的。如今许衡、王恂、郭守敬等人所撰写的《历经》以及李谦的《历议》仍然保存，都可以考证依据，因此详细记载于本篇。只有《万年历》不再流传，而《庚午元历》虽然未曾颁布使用，但其书还在，因此附录在后面，使后来的人有所考证。撰写《历志》。
授时历议上
《授时历》议上篇
验气
验证节气
天道运行，如环无端，治历者必就阴消阳息之际，以为立法之始。阴阳消息之机，何从而见之？惟候其日晷进退，则其机将无所遁。候之之法，不过植表测景，以究其气至之始。智作能述，前代诸人为法略备，苟能精思密索，心与理会，则前人述作之外，未必无所增益。
天道的运行，如同圆环没有尽头，治理历法的人必须在阴气消退、阳气生长的时机，作为建立历法的起点。阴阳消长的关键，从哪里能够观察到呢？只有观测日影的进退，那么这一关键就无法隐藏。观测的方法，不过是树立表杆测量日影，以推究节气到来的开始。智慧的人创作，有能力的人阐述，前代各位历法家制定的方法大致完备，如果能精心思考、深入探索，心中与道理相契合，那么在前人的阐述创作之外，未必没有可以增益的地方。
旧法择地平衍，设水准绳墨，植表其中，以度其中晷。然表短促，尺寸之下所为分秒太、半、少之数，未易分别。表长，则分寸稍长，所不便者，景虚而淡，难得实景。前人欲就虚景之中考求真实，或设望筩，或置小表，或以木为规，皆取表端日光下彻圭面。今以铜为表，高三十六尺，端挟以二龙，举一横梁，下至圭面，共四十尺，是为八尺之表五。圭表刻为尺寸，旧寸一，今申而为五，厘毫差易分。别创为景符，以取实景。其制以铜叶，博二寸，长加博之二，中穿一窍，若针芥然，以方 为趺，一端设为机轴，令可开阖，榰其一端，使其势斜倚，北高南下，往来迁就于虚景之中，窍达日光，仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法以表端测晷，所得者日体上边之景，今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。
旧的方法选择平坦的地面，设置水准和绳墨，在中间树立表杆，以测量其中午的日影。但表杆短小，在尺寸之下所划分的“分”、“秒”、“太”、“半”、“少”等数值，不容易分辨。表杆长，则分寸稍长，不方便之处在于日影虚淡，难以得到真实的影子。前人想要在虚淡的影子中考求真实，有的设置望筒，有的放置小表，有的用木头制作圆规，都是取表杆顶端日光下射到圭面上的影子。现在用铜制作表杆，高三十六尺，顶端夹着两条龙，举起一根横梁，向下到圭面，共四十尺，这是八尺表杆的五倍。圭表上刻有尺寸，旧的一寸，现在扩展为五寸，厘毫的差异容易分辨。另外创制了景符，以获取真实的影子。其制作是用铜片，宽二寸，长度比宽度多二寸，中间穿一个小孔，像针眼一样大小，用方形的底座，一端设置机轴，使其可以开合，支撑其一端，使其倾斜倚靠，北高南低，在虚淡的影子中来回移动调整，小孔透入日光，仅像米粒大小，隐约在其中看到横梁。旧的方法用表杆顶端测量日影，得到的是太阳上边缘的影子，现在用横梁来获取，实际得到的是太阳中心的影子，不容许有毫厘的误差。
地中八尺表景，冬至长一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。今京师长表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表则一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有奇，在八尺表则二尺三寸四分。虽晷景长短所在不同，而其景长为冬至，景短为夏至，则一也。惟是气至时刻考求不易，盖至日气正，则一岁气节从而正矣。刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景，折取其中，定为冬至，且以日差比课，推定时刻。宋皇祐间，周琮则取立冬、立春二日之景，以为去至既远，日差颇多，易为推考。纪元以后诸历，为法加详，大抵不出冲之之法。新历积日累月，实测中晷，自远日以及近日，取前后日率相埒者，参考同异，初非偏取一二日之景，以取数多者为定，实减大明历一十九刻二十分。仍以累岁实测中晷日差分寸，定拟二至时刻于后。
地中地区八尺表杆的日影，冬至时长一丈三尺有余，夏至时为一尺五寸。如今京城的长表杆，冬至时的日影为七丈九尺八寸有余，换算成八尺表杆则为一丈五尺九寸六分；夏至时的日影为一丈一尺七寸有余，换算成八尺表杆则为二尺三寸四分。虽然日影长短所在位置不同，但日影最长时为冬至，日影最短时为夏至，这一点是相同的。只是节气到来的时刻难以考求，因为冬至日节气准确，那么一年的节气就随之正确了。刘宋的祖冲之曾取冬至前后二十三四天之间的日影，折中取其中点，定为冬至，并且用日差进行比对推算，推定时刻。宋代皇祐年间，周琮则取立冬、立春两天的日影，认为距离冬至较远，日差较多，容易推算考定。纪元历以后的各历法，方法更加详细，但大致没有超出祖冲之的方法。新历法经过日积月累，实际测量中午的日影，从远日到近日，取前后日影比率相近的，参考异同，并非偏取一两天的日影，以取数多的为定准，实际比《大明历》减少了十九刻二十分。仍然用多年实测中午日影的日差分寸，确定拟定二至的时刻如下。
推至元十四年丁丑岁冬至
推算至元十四年丁丑年的冬至
其年十一月十四日己亥，景长七丈九尺四寸八分五厘五毫；至二十一日丙午，景长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，景长七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二日之景相校，余三分五（厘）〔毫〕为晷差，[3]进二位；以丙午、丁未二日之景相校，余八分六厘为法；除之，得三十五刻；用减相距日八百刻，余七百六十五刻；折取其中，加半日刻，共为四百三十二刻半；百约为日，得四日；余以十二乘之，百约为时，得三时，满五十又作一时，共得四时；余以十二收之，得三刻；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四日景。
该年十一月十四日己亥，日影长七丈九尺四寸八分五厘五毫；到二十一日丙午，日影长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，日影长七丈九尺四寸五分五厘。用己亥、丁未两天的日影相减，余三分五毫作为晷差，进位两位；用丙午、丁未两天的日影相减，余八分六厘作为除数；相除，得到三十五刻；用这个数减去相距日八百刻，余七百六十五刻；折中取其中点，加上半日刻，共为四百三十二刻半；以一百约简为日，得到四日；余数乘以十二，再以一百约简为时，得到三时，满五十又作一时，共得四时；余数用十二收为刻，得到三刻；从起始日己亥算起之外，得到癸卯日辰初三刻为丁丑年的冬至。这是取冬至前后四天的日影。
十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五厘五毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相减，复以辛亥、壬子景相减，准前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸丑，景七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑二日之景与甲午景，准前法求之，亦合。此取至前后八九日景。
十一月初九日甲午，日影七丈八尺六寸三分五厘五毫；到二十六日辛亥，日影七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，日影七丈八尺五寸五分。用甲午、壬子的日影相减，再用辛亥、壬子的日影相减，按照前面的方法推算，也得到癸卯日辰初三刻。到二十八日癸丑，日影七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑两天的日影与甲午的日影，按照前面的方法推算，也相符合。这是取冬至前后八九天的日影。
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六厘五毫；二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七厘；至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一厘。准前法求之，亦在辰初三刻。此取至前后一十七日景。
十一月初一丙戌，日影七丈五尺九寸八分六厘五毫；初二丁亥，日影七丈六尺三寸七分七厘；到十二月初六庚申，日影七丈五尺八寸五分一厘。按照前面的方法推算，也在辰初三刻。这是取冬至前后十七天的日影。
十（一）月二十一日丙子，[4]景七丈九寸七分一厘；至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分；十七日辛未，景七丈一寸五分六厘五毫。准前法求之，亦得辰初三刻。此取至前后二十七日景。
十一月二十一日丙子，日影七丈九寸七分一厘；到十二月十六日庚午，日影七丈七寸六分；十七日辛未，日影七丈一寸五分六厘五毫。按照前面的方法推算，也得到辰初三刻。这是取冬至前后二十七天的日影。
六月初五日癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之，亦合。此取至前后一百六十日景。
六月初五癸亥，日影一丈三尺八分；距离十五年五月初一癸未，日影一丈三尺三分八厘五毫；初二甲申，日影一丈二尺九寸二分五毫。按照前面的方法推算，也相符合。这是取冬至前后一百六十天的日影。
推十五年戊寅岁夏至
推算十五年戊寅年的夏至
五月十九日辛丑，景一丈一尺七寸七分七厘五毫；距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌二日之景相减，余二厘五毫，进二位为实；复用庚戌、辛亥景相减，余二分五厘五毫为法；除之，得九刻，用减相距日九百刻，余八百九十一刻；半之，加半日刻，百约，得四日；余以十二乘之，百约，得十一时；余以十二收为刻，得三刻；命初起距日辛丑算外，得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前后四日景。
五月十九日辛丑，日影一丈一尺七寸七分七厘五毫；距离二十八日庚戌，日影一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，日影一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌两天的日影相减，余二厘五毫，进位两位作为被除数；再用庚戌、辛亥的日影相减，余二分五厘五毫作为除数；相除，得到九刻，用这个数减去相距日九百刻，余八百九十一刻；折半，加上半日刻，以一百约简，得到四日；余数乘以十二，再以一百约简，得到十一时；余数用十二收为刻，得到三刻；从起始日辛丑算起之外，得到乙巳日亥正三刻为夏至。这是取夏至前后四天的日影。
十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三厘；距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午，景七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午景相减，以辛巳、壬午景相减除之，亦合。此用至前后一百五十六日景。
十四年十二月十五日己巳，日影七丈一尺三寸四分三厘；距离十五年十一月初二辛巳，日影七丈七寸五分九厘五毫；初三壬午，日影七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午的日影相减，再用辛巳、壬午的日影相减来除，也相符合。这是用冬至前后一百五十六天的日影。
十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，景七丈一尺九寸九厘；距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，景七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，景七丈三尺三分三厘五毫。前后互取，所得时刻皆合。此取至前后一百五十八九日景。
十四年十二月十二日丙寅，日影七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，日影七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，日影七丈一尺九寸九厘；距离十五年十一月初四癸未，日影七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五甲申，日影七丈二尺五寸五厘；初六乙酉，日影七丈三尺三分三厘五毫。前后互相取用，所得时刻都相符合。这是取冬至前后一百五十八九天的日影。
十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六厘；距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，景七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑景相减为实，以辛酉、壬戌景相减为法，除之；或以壬戌、癸亥景相减，或以戊子、己丑景相减，若己丑、庚寅景相减，推前法求之，皆合。此取至前后一百六十三四日景。
十四年十二月初七辛酉，日影七丈五尺四寸一分七厘；初八壬戌，日影七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九癸亥，日影七丈四尺四寸八分六厘；距离十五年十一月初九戊子，日影七丈四尺五寸二分五毫；初十己丑，日影七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，日影七丈五尺四寸四分九厘五毫。用壬戌、己丑的日影相减作为被除数，用辛酉、壬戌的日影相减作为除数，相除；或者用壬戌、癸亥的日影相减，或者用戊子、己丑的日影相减，如果用己丑、庚寅的日影相减，按照前面的方法推算，都相符合。这是取冬至前后一百六十三四天的日影。
推十五年戊寅岁冬至
推算十五年戊寅年的冬至
其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八厘五毫；距闰十一月初九日戊午，景七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午二日景相减，余四分五厘为晷差，进二位，以戊午、己未景相减，余二寸八分一厘为法，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百约，得十日；余以十二乘之，百约为时，满五十又进一时，共得七时；余以十二收为刻；命初起距日己亥算外，得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。此取至前后十日景。
那年十一月十九日戊戌，日影长度为七丈八尺三寸一分八厘五毫；到闰十一月初九日戊午，日影长度为七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，日影长度为七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午两天的日影相减，余下四分五厘作为晷差，进两位，再用戊午、己未的日影相减，余下二寸八分一厘作为除数，相除后得到十六刻，加上相距的两千刻，取一半，再加半日刻，除以一百，得到十日；余数乘以十二，再除以一百得到时辰，满五十又进一时，共得七时；余数用十二收为刻；从起始日己亥算起，得到戊申日未初三刻为戊寅年的冬至。这是取冬至前后十天的日影。
十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，景七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相减为实，以辛卯、壬辰景相减为法，除之，亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相减，推之，亦合。若用辛卯、乙丑景相减为实，用乙丑、丙寅景相减，除之，并同。此取至前后十六七日景。
十一月十二日辛卯，日影长度为七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，日影长度为七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，日影长度为七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，日影长度为七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，日影长度为七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子的日影相减作为被除数，用辛卯、壬辰的日影相减作为除数，相除后也得到戊申日未初三刻。或者用甲子、乙丑的日影相减来推算，也符合。如果用辛卯、乙丑的日影相减作为被除数，用乙丑、丙寅的日影相减作为除数，结果相同。这是取冬至前后十六七天的日影。
十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳景相减为实，以己巳、庚午景相减，除之，亦同。此取至前后二十一日景。
十一月初八日丁亥，日影长度为七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，日影长度为七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，日影长度为七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳的日影相减作为被除数，用己巳、庚午的日影相减作为除数，结果也相同。这是取冬至前后二十一天的日影。
六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八厘；至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一厘。以二戊寅景相减，用后戊寅、己卯景相减，推之，亦同。此取至前后一百五十日景。
六月二十六日戊寅，日影长度为—丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，日影长度为—丈四尺六寸三分八厘；到十六年四月二日戊寅，日影长度为—丈四尺四寸八分一厘。用两个戊寅的日影相减，再用后一个戊寅和己卯的日影相减来推算，结果也相同。这是取冬至前后一百五十天的日影。
五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午景相减，以乙巳、丙午景相减，推之，亦同。此取至前后百七十八日景。
五月二十八日庚戌，日影长度为—丈一尺七寸八分；到十六年四月二十九日乙巳，日影长度为—丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，日影长度为—丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午的日影相减，再用乙巳、丙午的日影相减来推算，结果也相同。这是取冬至前后一百七十八天的日影。
推十六年己卯岁夏至
推算十六年己卯年的夏至
四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三厘五毫；至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑景相减，余二分九厘五毫为晷差，进二位；以乙未、丙申景相减，得七分六厘为法；除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百约，得十五日；余以十二乘之，百约，得二时；余以十二收之，得二刻；命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻为夏至。此取至前后十五日景。
四月十九日乙未，日影长度为—丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，日影长度为—丈二尺二寸九分三厘五毫；到五月十九日乙丑，日影长度为—丈二尺二寸六分四厘。用丙申、乙丑的日影相减，余下二分九厘五毫作为晷差，进两位；再用乙未、丙申的日影相减，得到七分六厘作为除数；相除后得到三十八刻；加上相距的两千九百刻，取一半，再加半日刻，除以一百，得到十五日；余数乘以十二，再除以一百得到二时；余数用十二收为二刻；从起始日丙申算起，得到辛亥日寅正二刻为夏至。这是取夏至前后十五天的日影。
三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳景相减，以壬辰、癸巳景相减，准前法推之，亦合。此取至前后四十二日景。
三月二十一日戊辰，日影长度为—丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，日影长度为—丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，日影长度为—丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳的日影相减，再用壬辰、癸巳的日影相减，按照前面的方法推算，也符合。这是取夏至前后四十二天的日影。
三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五厘；至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子景相减，以壬子、癸丑景相减，如前法推之，亦合。此取至前后六十一二日景。
三月初二日己酉，日影长度为二丈一尺三寸五厘；到七月初七日壬子，日影长度为二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，日影长度为二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子的日影相减，再用壬子、癸丑的日影相减，按照前面的方法推算，也符合。这是取夏至前后六十一二天的日影。
三日戊申朔，景二丈一尺六寸一分一厘；至七月初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑景相减，以癸丑、甲寅景相减，准前法推之，亦同。此取至前后六十二三日景。
三月初一戊申，日影长度为二丈一尺六寸一分一厘；到七月初八日癸丑，日影长度为二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，日影长度为二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑的日影相减，再用癸丑、甲寅的日影相减，按照前面的方法推算，也相同。这是取夏至前后六十二三天的日影。
二月十八日乙未，景二丈六尺三分四厘五毫；至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅景相减，以丙寅、丁卯景相减，如前法推之，亦同。此取至前后七十五六日景。
二月十八日乙未，日影长度为二丈六尺三分四厘五毫；到七月二十一日丙寅，日影长度为二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，日影长度为二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅的日影相减，再用丙寅、丁卯的日影相减，按照前面的方法推算，也相同。这是取夏至前后七十五六天的日影。
二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五厘五毫；至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，景三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰与辛巳景相减，以后庚辰、辛巳景相减，如前推之，亦同。此取至前后九十日景。
二月三日庚辰，日影长度为三丈二尺一寸九分五厘五毫；到八月初五日庚辰，日影长度为三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，日影长度为三丈二尺二分六厘五毫。用前一个庚辰与辛巳的日影相减，再用后一个庚辰、辛巳的日影相减，按照前面的方法推算，也相同。这是取夏至前后九十天的日影。
正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一厘五毫；至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相减，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前后一百三四日景。
正月十九日丁卯，日影长度为三丈八尺五寸一厘五毫；到八月十八日癸巳，日影长度为三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，日影长度为三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午的日影相减，再用癸巳、甲午的日影相比较，按照前面的方法推算，也相同。这是取夏至前后一百三四天的日影。
推十六年己卯岁冬至
推算十六年己卯年的冬至
十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳景相减，余一寸六分为晷差，进二位；以己巳、庚午景相减，余四寸三分七厘五毫为法；除之，得三十六刻；以相减距日三千一百刻，余三千六十四刻；半之，加五十刻，百约，得一十五日；余以十二乘之，百约为时，满五十，又进一时，共得十时；余以十二收之为刻，得二刻；命初起距日戊戌算外，得癸丑日戌初二刻冬至。此取至前后十五六日景。
十月二十四日戊戌，日影长度为七丈六尺七寸四分；到十一月二十五日己巳，日影长度为七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，日影长度为七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳的日影相减，余下一寸六分作为晷差，进两位；再用己巳、庚午的日影相减，余下四寸三分七厘五毫作为除数；相除后得到三十六刻；用相减的相距日三千一百刻，减去后余下三千六十四刻；取一半，加五十刻，除以一百，得到十五日；余数乘以十二，再除以一百得到时辰，满五十又进一时，共得十时；余数用十二收为刻，得到二刻；从起始日戊戌算起，得到癸丑日戌初二刻为冬至。这是取冬至前后十五六天的日影。
十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，景七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，景七丈五尺二分五厘；至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相减，癸巳、甲午景相减，如前推之，亦同。若以壬申、癸酉景相减为法，推之亦同。此取至前后十八九日景。
十月十八日壬辰，日影长度为七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，日影长度为七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，日影长度为七丈五尺二分五厘；到十一月二十八日壬申，日影长度为七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，日影长度为七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月初一甲戌，日影长度为七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，日影长度为七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉的日影相减，再用癸巳、甲午的日影相减，按照前面的方法推算，也相同。如果用壬申、癸酉的日影相减作为除数来推算，也相同。这是取冬至前后十八九天的日影。
若用癸巳与甲戌景相减，以壬辰、癸巳景相减，推之，或癸巳、甲午景相减，推之，或用甲戌、癸酉景相减，推之，或甲戌、乙亥景相减，推之，或以壬辰、乙亥景相减，用壬辰、癸巳景相减，推之并同。此取至前后二十日景。
如果用癸巳与甲戌的日影相减，再用壬辰、癸巳的日影相减来推算；或者用癸巳、甲午的日影相减来推算；或者用甲戌、癸酉的日影相减来推算；或者用甲戌、乙亥的日影相减来推算；或者用壬辰、乙亥的日影相减，再用壬辰、癸巳的日影相减来推算，结果都相同。这是取冬至前后二十天的日影。
十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，景七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑景相减，以丙子、丁丑景相减，推之亦同。此取至前后二十三日景。
十月十六日庚寅，日影长度为七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，日影长度为七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，日影长度为七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑的日影相减，再用丙子、丁丑的日影相减来推算，也相同。这是取冬至前后二十三天的日影。
十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，景七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅景相减，以戊子、己丑景相减，推之，或用己丑、庚寅相减，推之亦同。此取至前后二十四日景。
十月十四日戊子，日影长度为七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，日影长度为七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，日影长度为七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅的日影相减，再用戊子、己丑的日影相减来推算；或者用己丑、庚寅的日影相减来推算，也相同。这是取冬至前后二十四天的日影。
十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙（丑）〔酉〕，[5]景六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙（丑）〔酉〕景相减，以辛巳、壬午相减，推之，壬午、癸未景相减，推之亦同。此取至前后三十一二日景。
十月初七日辛巳，日影长度为六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，日影长度为六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，日影长度为六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，日影长度为六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉的日影相减，再用辛巳、壬午的日影相减来推算；或者用壬午、癸未的日影相减来推算，也相同。这是取冬至前后三十一二天的日影。
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰景相减，以辛卯、壬辰景相减，推之亦同。此取至前后三十八日景。
十月初一乙亥，日影长度为六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，日影长度为六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，日影长度为六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰的日影相减，再用辛卯、壬辰的日影相减来推算，也相同。这是取冬至前后三十八天的日影。
九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，景五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑景相减，以辛丑、壬寅景相减，推之亦同。此取至前后四十七八日景。
九月二十二日丙寅，日影长度为五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，日影长度为五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，日影长度为五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑的日影相减，再用辛丑、壬寅的日影相减来推算，也相同。这是取冬至前后四十七八天的日影。
九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二厘五毫；至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘；至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相减，壬寅、癸卯景相减，推之亦同。此取至前后五十日景。
九月二十日甲子，日影长度为五丈六尺四寸九分二厘五毫；到十二月二十九日壬寅，日影长度为五丈六尺九寸一分五厘；到十七年正月初一癸卯，日影长度为五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯的日影相减，再用壬寅、癸卯的日影相减来推算，也相同。这是取冬至前后五十天的日影。
右以累年推测到冬夏二至时刻为准，定拟至元十八年辛巳岁前冬至，当在己未日夜半后六刻，即丑初一刻。
以上根据多年推测到的冬夏二至时刻为准，确定至元十八年辛巳年之前的冬至，应当在己未日半夜后六刻，也就是丑初一刻。
岁余岁差
岁余与岁差
周天之度，周岁之日，皆三百六十有五。全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。自今岁冬至距来岁冬至，历三百六十五日，而日行一周，凡四周，历千四百六十，则余一日，析而四之，则四分之一也。然天之分常有余，岁之分常不足，其数有不能齐者，惟其所差至微，前人初未觉知。迨汉末刘洪，始觉冬至后天，谓岁周余分太强，乃作乾象历，减岁余分二千五百为二千四百六十二。至晋虞喜、宋何承天、祖冲之，谓岁当有差，因立岁差之法。其法损岁余，益天周，使岁余浸弱，天周浸强，强弱相减，因得日躔岁退之差。岁余、天周，二者实相为用，岁差由斯而立，日躔由斯而得，一或损益失当，讵能与天叶哉？
周天的度数，周岁的天数，都是三百六十五。整数之外，还有零头，大致都是四分之一。从今年冬至到明年冬至，经历三百六十五天，太阳运行一周，总共四周，经历一千四百六十天，就多出一天，把它分成四份，就是四分之一。然而天的度数常常有余，岁的度数常常不足，它们的数量不能完全相等，只是相差非常微小，前人最初没有察觉。到了汉末刘洪，才察觉冬至点落后于天象，认为岁周余分太大，于是制作《乾象历》，将岁余分从二千五百减少到二千四百六十二。到晋代虞喜、宋代何承天、祖冲之，认为岁差应当存在，因此创立了岁差的方法。这个方法减少岁余，增加天周，使岁余逐渐减弱，天周逐渐增强，强弱相减，从而得到太阳运行每年后退的差值。岁余和天周，两者实际上相互为用，岁差由此确立，太阳运行由此得出，一旦增减不当，怎么能与天象相符呢？
今自刘宋大明壬寅以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，取相距积日时刻，以相距之年除之，各得其时所用岁余。复自大明壬寅距至元戊寅积日时刻，以相距之年除之，得每岁三百六十五日二十四分二十五秒，比大明历减去一十一秒，定为方今所用岁余。余七十五秒，用益所谓四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。余分强弱相减，余一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日却一度，以六十六年除全度，适得一分五十秒，定为岁差。
现在从刘宋大明壬寅年以来，总共测量日影验证气节得到冬至时刻真数的有六次，取相距的积日时刻，用相距的年数除它，各自得到当时所用的岁余。再从大明壬寅年到至元戊寅年的积日时刻，用相距的年数除它，得到每年三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减去十一秒，定为现在所用的岁余。余下七十五秒，用来增加所谓的四分之一，总共成为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。余分强弱相减，余下一分五十秒，用它除全度，得到六十六年有余，太阳后退一度，用六十六年除全度，正好得到一分五十秒，定为岁差。
复以尧典中星考之，其时冬至日在女、虚之交。及考之前史，汉元和二年，冬至日在斗二十一度；晋太元九年，退在斗十七度；宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗十二度；隋开皇十八年，犹在斗十二度；唐开元十二年，在斗九度半；今退在箕十度。取其距今之年、距今之度较之，多者七十余年，少者不下五十年，辄差一度。宋庆元间，改统天历，取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，为日却行一度之差。施之今日，质诸天道，实为密近。
再以《尧典》中的中星来考证，当时冬至太阳在女宿和虚宿的交界处。等到考察前代史书，汉元和二年，冬至太阳在斗宿二十一度；晋太元九年，退到斗宿十七度；宋元嘉十年，在斗宿十四度末；梁大同十年，在斗宿十二度；隋开皇十八年，仍在斗宿十二度；唐开元十二年，在斗宿九度半；现在退到箕宿十度。取它们距今年的年数和距今年的度数比较，多的七十多年，少的不少于五十年，就相差一度。宋庆元年间，改订《统天历》，取《大衍历》的岁差率八十二年以及开元年间所距的差五十五年，折中取其中间值，得到六十七年，作为太阳后退一度的差值。应用于现在，质证于天道，确实很接近。
然古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今授时历，以之考古，则增岁余而损岁差；以之推来，则增岁差而损岁余；上推春秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊；非止密于今日而已。仍以大衍等六历，考验春秋以来冬至疏密，凡四十九事，具列如后。
然而古今历法，符合现在的必然不能通用于古代，在古代精确的必然不能在现在验证。现在的《授时历》，用它来考证古代，就增加岁余而减少岁差；用它来推算未来，就增加岁差而减少岁余；向上推算春秋以来的冬至，往往都符合；向下推算未来，可以永久而没有弊病；不仅是在现在精确而已。仍然用《大衍历》等六种历法，检验考证春秋以来冬至的疏密情况，总共四十九件事，详细列举如下。
冬至刻
冬至时刻
大衍
《大衍历》
宣明
《宣明历》
纪元
《纪元历》
统天
《统天历》
大明
《大明历》
授时
《授时历》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
鲁献公十五年戊寅年，正月初一甲寅日早晨冬至。
丙辰〈二十二〉
丙辰日（二十二刻）
乙卯〈八十八〉
乙卯日（八十八刻）
丁巳〈三十三〉
丁巳日（三十三刻）
乙卯〈二〉
乙卯日（二刻）
丁巳〈三十五〉
丁巳日（三十五刻）
甲寅〈九十九〉
甲寅日（九十九刻）
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
鲁僖公五年丙寅年，正月初一辛亥日早晨冬至。
辛亥〈九十四〉
辛亥日（九十四刻）
辛亥〈六十六〉
辛亥日（六十六刻）
壬子〈七十四〉
壬子日（七十四刻）
辛亥〈二十七〉
辛亥日（二十七刻）
壬子〈八十九〉
壬子日（八十九刻）
辛亥〈十四〉
辛亥日（十四刻）
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
鲁昭公二十年己卯年，正月初一己丑日早晨冬至。
己丑〈四十五〉
己丑日（四十五刻）
己丑〈二十〉
己丑日（二十刻）
庚寅〈二十五〉
庚寅日（二十五刻）
戊子〈九十二〉
戊子日（九十二刻）
庚寅〈二十九〉
庚寅日（二十九刻）
戊子〈八十三〉
戊子日（八十三刻）
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
宋元嘉十二年乙亥年，十一月十五日戊辰日影最长。
戊辰〈三十五〉
戊辰日（三十五刻）
戊辰〈三十二〉
戊辰日（三十二刻）
戊辰〈三十九〉
戊辰日（三十九刻）
戊辰〈五十一〉
戊辰日（五十一刻）
戊辰〈四十一〉
戊辰日（四十一刻）
戊辰〈四十七〉
戊辰日（四十七刻）
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
元嘉十三年丙子年，十一月二十六日甲戌日影最长。
癸酉〈五十九〉
癸酉日（五十九刻）
癸酉〈五十七〉
癸酉日（五十七刻）
癸酉〈六十三〉
癸酉日（六十三刻）
癸酉〈七十五〉
癸酉日（七十五刻）
癸酉〈六十五〉
癸酉日（六十五刻）
癸酉〈七十一〉
癸酉日（七十一刻）
元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。
元嘉十五年戊寅年，十一月十八日甲申日影最长。
甲申〈八〉
甲申日（八刻）
甲申〈六〉
甲申日（六刻）
甲申〈十二〉
甲申日（十二刻）
甲申〈二十四〉
甲申日（二十四刻）
甲申〈十四〉
甲申日（十四刻）
甲申〈十九〉
甲申日（十九刻）
元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。
元嘉十六年己卯年，十月二十九日己丑日影最长。
己丑〈三十三〉
己丑日（三十三刻）
己丑〈三十〉
己丑日（三十刻）
己丑〈三十七〉
己丑日（三十七刻）
己丑〈四十八〉
己丑日（四十八刻）
己丑〈三十七〉
己丑日（三十七刻）
己丑〈四十四〉
己丑日（四十四刻）
元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。
元嘉十七年庚辰年，十一月初十日甲午日影最长。
甲午〈五十七〉
甲午日（五十七刻）
甲午〈五十五〉
甲午日（五十五刻）
甲午〈六十一〉
甲午日（六十一刻）
甲午〈七十二〉
甲午日（七十二刻）
甲午〈六十三〉
甲午日（六十三刻）
甲午〈六十八〉
甲午日（六十八刻）
元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥景长。
元嘉十八年辛巳年，十一月二十一日己亥日影最长。
己亥〈八十二〉
己亥日（八十二刻）
己亥〈七十九〉
己亥日（七十九刻）
己亥〈八十五〉
己亥日（八十五刻）
己亥〈九十七〉
己亥日（九十七刻）
己亥〈八十七〉
己亥日（八十七刻）
己亥〈九十三〉
己亥日（九十三刻）
元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳景长。
元嘉十九年壬午年，十一月初三日乙巳日影最长。
乙巳〈六〉
乙巳日（六刻）
乙巳〈四〉
乙巳日（四刻）
乙巳〈十〉
乙巳日（十刻）
乙巳〈二十一〉
乙巳日（二十一刻）
乙巳〈一十一〉
乙巳日（十一刻）
乙巳〈一十七〉
乙巳日（十七刻）
大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
大明五年辛丑年，十一月乙酉日冬至。
甲申〈七十〉
甲申日（七十刻）
甲申〈六十八〉
甲申日（六十八刻）
甲申〈七十三〉
甲申日（七十三刻）
甲申〈八十九〉
甲申日（八十九刻）
甲申〈七十四〉
甲申日（七十四刻）
甲申〈七十九〉
甲申日（七十九刻）
陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
陈天嘉六年乙酉年，十一月庚寅日影最长。
庚寅〈十二〉
庚寅日（十二刻）
庚寅〈十三〉
庚寅日（十三刻）
庚寅〈五〉
庚寅日（五刻）
庚寅〈二十四〉
庚寅日（二十四刻）
庚寅〈八〉
庚寅日（八刻）
庚寅〈十七〉
庚寅日（十七刻）
光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
光大二年戊子年，十一月乙巳日影最长。
乙巳〈八十〉
乙巳日（八十刻）
乙巳〈八十六〉
乙巳日（八十六刻）
乙巳〈七十九〉
乙巳日（七十九刻）
乙巳〈九十七〉
乙巳日（九十七刻）
乙巳〈八十一〉
乙巳日（八十一刻）
乙巳〈九十〉
乙巳日（九十刻）
太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯景长。
太建四年壬辰年，十一月二十九日丁卯日影最长。
丙寅〈八十三〉
丙寅日（八十三刻）
丙寅〈七十八〉
丙寅日（七十八刻）
丙寅〈七十七〉
丙寅日（七十七刻）
丙寅〈九十五〉
丙寅日（九十五刻）
丙寅〈九十八〉
丙寅日（九十八刻）
丙寅〈八十七〉
丙寅日（八十七刻）
太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑景长。
太建六年甲午年，十一月二十日丁丑日影最长。
丁丑〈三十二〉
丁丑日（三十二刻）
丁丑〈三十三〉
丁丑日（三十三刻）
丁丑〈二十五〉
丁丑日（二十五刻）
丁丑〈四十三〉
丁丑日（四十三刻）
丁丑〈二十七〉
丁丑日（二十七刻）
丁丑〈三十六〉
丁丑日（三十六刻）
太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰景长。
太建九年丁酉年，十一月二十三日壬辰日影最长。
癸巳〈四〉
癸巳日（四刻）
癸巳〈六〉
癸巳日（六刻）
壬辰〈九十九〉
壬辰日（九十九刻）
癸巳〈十六〉
癸巳日（十六刻）
癸巳〈空〉
癸巳日（空缺）
癸巳〈八〉
癸巳日（八刻）
太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。
太建十年戊戌年，十一月五日戊戌日影最长。
戊戌〈三十〉
戊戌日（三十刻）
戊戌〈三十〉
戊戌日（三十刻）
戊戌〈二十三〉
戊戌日（二十三刻）
戊戌〈四十〉
戊戌日（四十刻）
戊戌〈二十四〉
戊戌日（二十四刻）
戊戌〈三十三〉
戊戌日（三十三刻）
〔隋〕开皇四年甲辰岁，[6]十一月十一日己巳景长。
隋开皇四年甲辰年，十一月十一日己巳日影最长。
己巳〈七十七〉
己巳日（七十七刻）
己巳〈七十八〉
己巳日（七十八刻）
己巳〈六十九〉
己巳日（六十九刻）
己巳〈八十六〉
己巳日（八十六刻）
己巳〈七十一〉
己巳日（七十一刻）
己巳〈八十六〉
己巳日（八十六刻）
开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。
开皇五年乙巳年，十一月二十二日乙亥日影最长。
乙亥〈一〉
乙亥日（一刻）
乙亥〈二〉
乙亥日（二刻）
甲戌〈九十二〉
甲戌日（九十二刻）
乙亥〈十一〉
乙亥日（十一刻）
甲戌〈五十五〉
甲戌日（五十五刻）
乙亥〈一十〉
乙亥日（十刻）
开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。
开皇六年丙午年，十一月三日庚辰日影最长。
庚辰〈二十五〉
庚辰日（二十五刻）
庚辰〈二十六〉
庚辰日（二十六刻）
庚辰〈十八〉
庚辰日（十八刻）
庚辰〈三十四〉
庚辰日（三十四刻）
庚辰〈十九〉
庚辰日（十九刻）
庚辰〈三十四〉
庚辰日（三十四刻）
开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。
开皇七年丁未年，十一月十四日乙酉日影最长。
乙酉〈五十〉
乙酉日（五十刻）
乙酉〈五十一〉
乙酉日（五十一刻）
乙酉〈四十二〉
乙酉日（四十二刻）
乙酉〈五十九〉
乙酉日（五十九刻）
乙酉〈四十四〉
乙酉日（四十四刻）
乙酉〈五十九〉
乙酉日（五十九刻）
开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。
开皇十一年辛亥年，十一月二十八日丙午日影最长。
丙午〈四十八〉
丙午日（四十八刻）
丙午〈四十九〉
丙午日（四十九刻）
丙午〈四十三〉
丙午日（四十三刻）
丙午〈五十七〉
丙午日（五十七刻）
丙午〈四十一〉
丙午日（四十一刻）
丙午〈五十六〉
丙午日（五十六刻）
开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
开皇十四年甲寅年，十一月初一辛酉日早晨冬至。
壬戌〈二十一〉
壬戌日（二十一刻）
戊寅〈七十七〉
戊寅（七十七）
戊寅〈五十五〉
戊寅（五十五）
戊寅〈七十四〉
戊寅（七十四）
戊寅〈五十六〉
戊寅（五十六）
戊寅〈七十〉
戊寅（七十）
开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。
开元十二年甲子年，十一月癸未日冬至。
癸未〈九十八〉
癸未（九十八）
甲申〈三〉
甲申（三）
癸未〈八十〉
癸未（八十）
癸未〈九十九〉
癸未（九十九）
癸未〈八十一〉
癸未（八十一）
癸未〈九十五〉
癸未（九十五）
宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日南至。
宋朝景德四年丁未年，十一月戊辰日冬至。
戊辰〈十五〉
戊辰（十五）
戊辰〈二十六〉
戊辰（二十六）
丁卯〈七十四〉
丁卯（七十四）
丁卯〈八十二〉
丁卯（八十二）
丁卯〈七十四〉
丁卯（七十四）
丁卯〈八十〉
丁卯（八十）
皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑景长。
皇祐二年庚寅年，十一月三十日癸丑日影最长。
癸丑〈六十五〉
癸丑（六十五）
癸丑〈七十九〉
癸丑（七十九）
癸丑〈二十二〉
癸丑（二十二）
癸丑〈二十五〉
癸丑（二十五）
癸丑〈二十二〉
癸丑（二十二）
癸丑〈二十三〉
癸丑（二十三）
元丰六年癸亥岁，十一月丙午景长。
元丰六年癸亥年，十一月丙午日影最长。
丙午〈七十三〉
丙午（七十三）
丙午〈八十五〉
丙午（八十五）
丙午〈二十六〉
丙午（二十六）
丙午〈二十七〉
丙午（二十七）
丙午〈二十六〉
丙午（二十六）
丙午〈二十六〉
丙午（二十六）
元丰七年甲子岁，十一月辛亥景长。
元丰七年甲子年，十一月辛亥日影最长。
辛亥〈九十七〉
辛亥（九十七）
壬子〈一十〉
壬子（一十）
辛亥〈五十〉
辛亥（五十）
辛亥〈五十一〉
辛亥（五十一）
辛亥〈五十〉
辛亥（五十）
辛亥〈五十一〉
辛亥（五十一）
元祐三年戊辰岁，十一月壬申景长。
元祐三年戊辰年，十一月壬申日影最长。
壬申〈九十四〉
壬申（九十四）
癸酉〈八〉
癸酉（八）
壬申〈四十八〉
壬申（四十八）
壬申〈四十八〉
壬申（四十八）
壬申〈四十八〉
壬申（四十八）
壬申〈四十八〉
壬申（四十八）
元祐四年己巳岁，十一月丁丑景长。
元祐四年己巳年，十一月丁丑日影最长。
戊寅〈十九〉
戊寅（十九）
戊寅〈三十二〉
戊寅（三十二）
丁丑〈七十二〉
丁丑（七十二）
丁丑〈七十二〉
丁丑（七十二）
丁丑〈七十二〉
丁丑（七十二）
丁丑〈七十二〉
丁丑（七十二）
元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。
元祐五年庚午年，十一月壬午日冬至。
癸未〈四十四〉
癸未（四十四）
癸未〈五十六〉
癸未（五十六）
壬午〈九十六〉
壬午（九十六）
壬午〈九十七〉
壬午（九十七）
壬午〈九十六〉
壬午（九十六）
壬午〈九十六〉
壬午（九十六）
元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。
元祐七年壬申年，十一月癸巳日冬至。
癸巳〈九十二〉
癸巳（九十二）
甲午〈五〉
甲午（五）
癸巳〈四十五〉
癸巳（四十五）
癸巳〈四十五〉
癸巳（四十五）
癸巳〈四十五〉
癸巳（四十五）
癸巳〈四十五〉
癸巳（四十五）
元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。
元符元年戊寅年，十一月甲子日冬至。
乙丑〈三十九〉
乙丑（三十九）
乙丑〈五十二〉
乙丑（五十二）
甲子〈九十一〉
甲子（九十一）
甲子〈九十一〉
甲子（九十一）
甲子〈九十一〉
甲子（九十一）
甲子〈九十一〉
甲子（九十一）
崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。
崇宁三年甲申年，十一月丙申日冬至。
丙申〈八十六〉
丙申（八十六）
丙申〈九十九〉
丙申（九十九）
丙申〈三十七〉
丙申（三十七）
丙申〈三十六〉
丙申（三十六）
丙申〈三十七〉
丙申（三十七）
丙申〈三十七〉
丙申（三十七）
绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。
绍熙二年辛亥年，十一月壬申日冬至。
癸酉〈十二〉
癸酉（十二）
癸酉〈二十七〉
癸酉（二十七）
壬申〈五十七〉
壬申（五十七）
壬申〈四十七〉
壬申（四十七）
壬申〈五十七〉
壬申（五十七）
壬申〈四十六〉
壬申（四十六）
庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日南至。
庆元三年丁巳年，十一月癸卯日冬至。
甲辰〈五十九〉
甲辰（五十九）
甲辰〈七十四〉
甲辰（七十四）
甲辰〈三〉
甲辰（三）
癸卯〈九十二〉
癸卯（九十二）
甲辰〈三〉
甲辰（三）
癸卯〈九十二〉
癸卯（九十二）
嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日南至。
嘉泰三年癸亥年，十一月甲戌日冬至。
丙子〈五〉
丙子（五）
丙子〈二十一〉
丙子（二十一）
乙亥〈四十九〉
乙亥（四十九）
乙亥〈三十七〉
乙亥（三十七）
乙亥〈四十九〉
乙亥（四十九）
乙亥〈三十七〉
乙亥（三十七）
嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日南至。
嘉定五年壬申年，十一月壬戌日冬至。
癸亥〈二十五〉
癸亥（二十五）
癸亥〈四十一〉
癸亥（四十一）
壬戌〈六十九〉
壬戌（六十九）
壬戌〈五十六〉
壬戌（五十六）
壬戌〈六十八〉
壬戌（六十八）
壬戌〈五十六〉
壬戌（五十六）
绍定三年庚寅岁，十一月丙申日南至。
绍定三年庚寅年，十一月丙申日冬至。
丁酉〈六十五〉
丁酉（六十五）
丁酉〈八十三〉
丁酉（八十三）
丁酉〈七〉
丁酉（七）
丙申〈六十三〉
丙申（六十三）
丁酉〈七〉
丁酉（七）
丙申〈九十二〉
丙申（九十二）
淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日南至。
淳祐十年庚戌年，十一月辛巳日冬至。
壬午〈九十四〉
壬午（九十四）
壬午〈七十一〉
壬午（七十一）
辛巳〈九十六〉
辛巳（九十六）
辛巳〈七十七〉
辛巳（七十七）
辛巳〈九十四〉
辛巳（九十四）
辛巳〈七十八〉
辛巳（七十八）
本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。
本朝至元十七年庚辰年，十一月己未日半夜后六刻冬至。
己未〈八十七〉
己未（八十七）
庚申〈五〉
庚申（五）
己未〈二十五〉
己未（二十五）
己未〈四〉
己未（四）
己未〈二十四〉
己未（二十四）
己未〈六〉
己未（六）
右自春秋献公以来，凡二千一百六十余年，用大衍、宣明、纪元、统天、大明、授时六历推算冬至，凡四十九事。[7]大衍历合者三十二，不合者十七；宣明历合者二十六，不合者二十三；纪元历合者三十五，不合者十四；统天历合者三十八，不合者十一；大明历合者三十四，不合者十五；授时历合者三十九，不合者十事。
以上从春秋时期献公以来，总共二千一百六十多年，用大衍、宣明、纪元、统天、大明、授时六种历法推算冬至，共四十九次。大衍历符合的有三十二次，不符合的有十七次；宣明历符合的有二十六次，不符合的有二十三次；纪元历符合的有三十五，不符合的有十四次；统天历符合的有三十八次，不符合的有十一次；大明历符合的有三十四次，不符合的有十五次；授时历符合的有三十九次，不符合的有十次。
今按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，授时历得甲寅，统天历得乙卯，后天一日；至僖公五年〔丙寅岁〕正月辛亥朔旦冬至，[8]授时、统天皆得辛亥，与天合；下至昭公二十年己卯岁正月己丑朔旦冬至，授时、统天皆得戊子，并先一日，若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知春秋所书昭公冬至，乃日度失行之验。一也。大衍历考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，大衍与皇极、麟德三历皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三历之差。今以授时历考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸历皆得甲申，殆亦日度之差。三也。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯景长，大衍、授时皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，大衍、授时皆得癸巳，是后一日；一失之先，一失之后，若合于壬辰，则差于丁酉，合于丁酉，则差于壬辰，亦日度失行之验。五也。开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，大衍、统天、授时皆得丙午，与天合；至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而大衍、统天、授时皆得壬戌，若合于辛亥，则失于甲寅，合于甲寅，则失于辛亥，其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行。六也。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸历得甲申，贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长，诸历皆得庚戌，大衍历议以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时历以书，必非候景所得，所以不合，今以授时历考之亦然。八也。自前宋以来，测景验气者凡十七事，其景德丁未岁戊辰日南至，统天、授时皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥岁甲戌日南至，统天、授时皆得乙亥，是后一日；一失之先，一失之后，若曲变其数以从景德，则其余十六事多后天，从嘉泰，则其余十六事多先天，亦日度失行之验。十也。
现在考察献公十五年戊寅年正月甲寅日初一冬至，授时历得到甲寅，统天历得到乙卯，晚了一天；到僖公五年（丙寅年）正月辛亥日初一冬至，授时历和统天历都得到辛亥，与天象符合；往下到昭公二十年己卯年正月己丑日初一冬至，授时历和统天历都得到戊子，都提前了一天，如果勉强改变历法来符合它，那么献公、僖公的冬至就不符合了。由此可知《春秋》所记载的昭公冬至，是太阳运行速度失常的验证。这是第一点。大衍历考证古代冬至，说刘宋元嘉十三年丙子年十一月甲戌日冬至，大衍历与皇极历、麟德历三种历法都得到癸酉，各提前一天，这是太阳运行速度失常，不是三种历法的误差。现在用授时历考察，也得到癸酉。这是第二点。大明五年辛丑年十一月乙酉日冬至，各种历法都得到甲申，大概也是太阳运行速度的误差。这是第三点。陈朝太建四年壬辰年十一月丁卯日影最长，大衍历、授时历都得到丙寅，是提前一天；太建九年丁酉年十一月壬辰日影最长，大衍历、授时历都得到癸巳，是晚了一天；一个提前，一个推后，如果符合壬辰年，就与丁酉年不符，符合丁酉年，就与壬辰年不符，这也是太阳运行速度失常的验证。这是第五点。开皇十一年辛亥年十一月丙午日影最长，大衍历、统天历、授时历都得到丙午，与天象符合；到开皇十四年甲寅年十一月辛酉日冬至，而大衍历、统天历、授时历都得到壬戌，如果符合辛亥年，就与甲寅年不符，符合甲寅年，就与辛亥年不符，这开皇十四年甲寅年的冬至，也是太阳运行速度失常。这是第六点。唐朝贞观十八年甲辰年十一月乙酉日影最长，各种历法得到甲申，贞观二十三年己酉年十一月辛亥日影最长，各种历法都得到庚戌，大衍历的议论用永淳、开元的冬至来推算，知道前两个冬至是史官根据当时的历法记载，一定不是通过观测日影得到的，所以不符合，现在用授时历考察也是这样。这是第八点。从刘宋以来，观测日影验证节气共有十七件事，其中景德丁未年戊辰日冬至，统天历、授时历都得到丁卯，是提前一天；嘉泰癸亥年甲戌日冬至，统天历、授时历都得到乙亥，是晚了一天；一个提前，一个推后，如果勉强改变数字来符合景德年，那么其余十六件事大多推后，如果符合嘉泰年，那么其余十六件事大多提前，这也是太阳运行速度失常的验证。这是第十点。
前十事皆授时历所不合，以此理推之，非不合矣，盖类其同则知其中，辨其异则知其变。今于冬至略其日度失行及史官依时历书之者凡十事，则授时历三十九事皆中，统天历与今历不合者仅有献公一事，大衍历推献公冬至后天二日，大明后天三日，授时历与天合。下推至元庚辰冬至，大衍后天八十一刻，大明后天一十九刻，统天历先天一刻，授时历与天合。以前代诸历校之，授时为密，庶几千岁之日至，可坐而致云。
前面十件事都是授时历所不符合的，用这个道理来推论，并不是不符合，大概归类相同就知道其中规律，辨别差异就知道其变化。现在对于冬至忽略那些太阳运行速度失常以及史官根据当时历法记载的共十件事，那么授时历三十九件事都符合，统天历与现在历法不符合的只有献公一件事，大衍历推算献公冬至晚了两天，大明历晚了三天，授时历与天象符合。往下推算到至元庚辰年的冬至，大衍历晚了八十一刻，大明历晚了十九刻，统天历提前了一刻，授时历与天象符合。用前代各种历法来比较，授时历最为精密，差不多千年之内的冬至，可以坐着推算出来。
古今历参校疏密
古今历法比较疏密
授时历与古历相校，疏密自见，盖上能合于数百载之前，则下可行之永久，此前人定说。古称善治历者，若宋何承天，隋刘焯，唐傅仁均、僧一行之流，最为杰出。今以其历与至元庚辰冬至气应相校，未有不舛戾者，而以新历上推往古，无不脗合，则其疏密从可知已。
授时历与古代历法相比较，疏密自然显现，大概上能符合数百年前的天象，那么下可以永久推行，这是前人的定论。古代称善于制定历法的人，如宋朝的何承天，隋朝的刘焯，唐朝的傅仁均、僧一行等人，最为杰出。现在用他们的历法与至元庚辰年冬至的气应相比较，没有不出现差错的，而用新历向上推算古代，没有不符合的，那么它的疏密就可以知道了。
宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰岁，计八百三十八年。其年十一月，气应己未六刻冬至，元嘉历推之，得辛酉，后授时二日；授时上考元嘉壬午岁冬至，得乙巳，与元嘉合。
宋文帝元嘉十九年壬午年十一月乙巳日十一刻冬至，距离本朝至元十七年庚辰年，共八百三十八年。那年十一月，气应己未六刻冬至，元嘉历推算，得到辛酉，比授时历晚两天；授时历向上考察元嘉壬午年的冬至，得到乙巳，与元嘉历符合。
隋大业三年丁卯岁十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百七十三年。皇极历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时上考大业丁卯岁冬至，得庚午，与皇极合。
隋朝大业三年丁卯年十一月庚午日五十二刻冬至，距离至元十七年庚辰年，共六百七十三年。皇极历推算，得到庚申冬至，比授时历晚一天；授时历向上考察大业丁卯年的冬至，得到庚午，与皇极历符合。
唐武德元年戊寅岁十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百六十二年。戊寅历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时历上考武德戊寅岁，得戊辰冬至，与戊寅历合。
唐朝武德元年戊寅年十一月戊辰日六十四刻冬至，距离至元十七年庚辰年，共六百六十二年。戊寅历推算，得到庚申冬至，比授时历晚一天；授时历向上考察武德戊寅年，得到戊辰冬至，与戊寅历符合。
开元十五年丁卯岁十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计五百五十三年。大衍历推之，得己未冬至，后授时八十一刻；授时历上考开元丁卯岁，得己亥冬至，与大衍历合，先四刻。
开元十五年丁卯年十一月己亥日七十二刻冬至，距离至元十七年庚辰年，共五百五十三年。大衍历推算，得到己未冬至，比授时历晚八十一刻；授时历向上考察开元丁卯年，得到己亥冬至，与大衍历符合，提前四刻。
长庆元年辛丑岁十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计四百五十九年。宣明历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时历上考长庆辛丑岁，得壬子冬至，与宣明历合。
长庆元年辛丑年十一月壬子日七十六刻冬至，距离至元十七年庚辰年，共四百五十九年。宣明历推算，得到庚申冬至，比授时历晚一天；授时历向上考察长庆辛丑年，得到壬子冬至，与宣明历符合。
咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计二百八十年。仪天历推之，得庚申冬至，后授时一日；授时上考咸平庚子岁，得辛卯冬至，与仪天合。
咸平三年（庚子年）十一月辛卯日五十三刻冬至，距离至元十七年（庚辰年）共二百八十年。用仪天历推算，得到庚申日冬至，比授时历晚一天；授时历向上推算咸平庚子年，得到辛卯日冬至，与仪天历相符。
崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百七十五年。纪元历推之，得己未日冬至，后授时十九刻；授时历上考崇宁乙酉岁，得辛丑日冬至，与纪元历合，先二刻。
崇宁四年（乙酉年）十一月辛丑日六十二刻冬至，距离至元十七年（庚辰年）共一百七十五年。用纪元历推算，得到己未日冬至，比授时历晚十九刻；授时历向上推算崇宁乙酉年，得到辛丑日冬至，与纪元历相符，但早二刻。
金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百一年。大明历推之，得己未冬至，后授时一十九刻；授时历上考大定己亥岁，己巳冬至，与大明历合，先九刻。〈大明冬至盖测验未密故也。〉
金大定十九年（己亥年）十一月己巳日六十四刻冬至，距离至元十七年（庚辰年）共一百零一年。用大明历推算，得到己未日冬至，比授时历晚十九刻；授时历向上推算大定己亥年，得到己巳日冬至，与大明历相符，但早九刻。（大明历的冬至大概是因为测量不够精确。）
庆元四年戊午岁十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计八十二年。统天历推之，得己未冬至，先授时一刻；授时历上考庆元戊午岁，得己酉日冬至，与统天历合。
庆元四年（戊午年）十一月己酉日十七刻冬至，距离至元十七年（庚辰年）共八十二年。用统天历推算，得到己未日冬至，比授时历早一刻；授时历向上推算庆元戊午年，得到己酉日冬至，与统天历相符。
周天列宿度
周天列宿的度数
列宿著于天，为舍二十有八，为度三百六十五有奇。非日躔无以校其度，非列舍无以纪其度，周天之度，因二者以得之。天体浑圆，当二极南北之中，络以赤道，日月五星之行，常出入于此。天左旋，日月五星溯而右转，昔人历象日月星辰，谓此也。然列舍相距度数，历代所测不同，非微有动移，则前人所测或有未密。古用闚管，今新制浑仪，测用二线，所测度数分秒与前代不同者，今列于左。
列宿分布在天空中，共有二十八宿，总度数为三百六十五度有余。没有太阳的运行就无法校正它们的度数，没有列宿就无法记录这些度数，周天的度数正是通过这两者来确定的。天体是浑圆的，在南北两极的中间，用赤道环绕，日月五星的运行常常出入于赤道。天向左旋转，日月五星逆向右行，古人观测日月星辰的运行，指的就是这个。然而列宿之间的相距度数，历代测量结果不同，如果不是有微小的移动，就是前人的测量不够精确。古代用窥管观测，现在新制的浑仪用两根线测量，所测得的度数分秒与前代不同，现列于下。
汉洛下闳所测
汉代洛下闳所测
唐一行所测
唐代一行所测
宋皇祐所测
宋代皇祐年间所测
元丰所测
元丰年间所测
崇宁所测
崇宁年间所测
至元所测
至元年间所测
角十二度
角宿：十二度
十二度一十分
十二度十分
亢九度
亢宿：九度
九度少
九度少
九度二十分
九度二十分
氐十五度
氐宿：十五度
十六度
十六度
十六度三十分
十六度三十分
房五度
房宿：五度
六度
六度
五度太
五度太
五度六十分
五度六十分
心五度
心宿：五度
六度
六度
六度少
六度少
六度五十分
六度五十分
尾十八度
尾宿：十八度
十九度
十九度
十九度少
十九度少
十九度一十分
十九度十分
箕十一度
箕宿：十一度
十度
十度
十一度
十一度
十度半
十度半
十度四十分
十度四十分
东方七十五度
东方七宿：七十五度
七十七度
七十七度
七十九度
七十九度
（七十八度）[9]
（七十八度）[9]
七十九度二十分
七十九度二十分
斗二十六度及分
斗宿：二十六度及分
二十六度
二十六度
二十五度
二十五度
二十五度二十分
二十五度二十分
牛八度
牛宿：八度
七度
七度
七度少
七度少
七度二十分
七度二十分
女十二度
女宿：十二度
十一度
十一度
十一度少
十一度少
十一度三十五分
十一度三十五分
虚十度
虚宿：十度
十度少强
十度少强
九度少度
九度少
八度九十五分
八度九十五分
危十七度
危宿：十七度
十六度
十六度
十五度半
十五度半
十五度四十分
十五度四十分
室十六度
室宿：十六度
十六度
十六度
十七度
十七度
十七度十一分
十七度十一分
壁九度
壁宿：九度
八度太
八度太
八度六十分
八度六十分
北方九十八度及分
北方七宿：九十八度及分
九十八度二十五分
九十八度二十五分
九十五度二十五分
九十五度二十五分
九十四度二十五分
九十四度二十五分
九十四度七十五分[10]
九十四度七十五分[10]
九十三度八十分太
九十三度八十分太
奎十六度
奎宿：十六度
十六度半
十六度半
十六度六十分
十六度六十分
娄十二度
娄宿：十二度
十一度八十分
十一度八十分
胃十四度
胃宿：十四度
十五度
十五度
十五度六十分
十五度六十分
昴十一度
昴宿：十一度
十一度少
十一度少
十一度三十分
十一度三十分
毕十六度
毕宿：十六度
十七度
十七度
十八度
十八度
十七度
十七度
十七度少
十七度少
十七度四十分
十七度四十分
觜二度
觜宿：二度
一度
一度
半度
半度
五分
五分
参九度
参宿：九度
十度
十度
十度半
十度半
十一度一十分
十一度十分
西方八十度
西方七宿：八十度
八十一度
八十一度
八十三度
八十三度
八十二度
八十二度
八十三度
八十三度
八十三度八十五分
八十三度八十五分
井三十三度
井宿：三十三度
〔三十四度〕[11]
〔三十四度〕[11]
三十三度少
三十三度少
三十三度三十分
三十三度三十分
鬼四度
鬼宿：四度
三度
三度
二度
二度
二度半
二度半
二度二十分
二度二十分
柳十五度
柳宿：十五度
十四度
十四度
十三度太
十三度太
十三度三十分
十三度三十分
星七度
星宿：七度
六度太
六度太
六度三十分
六度三十分
张十八度
张宿：十八度
十七度
十七度
十七度少
十七度少
十七度二十五分
十七度二十五分
翼十八度
翼宿：十八度
十九度
十九度
十八度太
十八度太
十八度七十五分
十八度七十五分
轸十七度
轸宿：十七度
十七度三十分
十七度三十分
南方一百一十二度
南方七宿：一百一十二度
一百一十一度
一百一十一度
一百一十度
一百一十度
一百一十度
一百一十度
一百九度二十五分
一百九度二十五分
一百八度四十分
一百八度四十分
日躔
太阳的运行
日之丽天，县象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲测躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，从考其所当；然昏旦夜半时刻未易得真，时刻一差，则所距、所当，不容无舛。晋姜岌首以月食冲检，知日度所在；纪元历复以太白志其相距远近，于昏后明前验定星度，因得日躔。今用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道九度有奇。仍自其年正月至己卯岁终，三年之间，日测太阴所离宿次及岁星、太白相距度，定验参考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，适与月食所冲允合。以金赵知微所修大明历法推之，冬至犹躔斗初度三十六分六十四秒，比新测实差七十六分六十四秒。
太阳附着于天空，其天象最为显著，当太阳升起时，所有星宿都隐没。古人想要测量太阳运行的度数，必须在黄昏、黎明和半夜时，通过中星来考察其相距的度数，并确定其所在的位置；然而黄昏、黎明和半夜的时刻不容易准确获得，时刻一旦有误差，那么所测的距离和位置就难免有差错。晋代的姜岌首先利用月食的冲点来检验，从而知道太阳的度数所在；纪元历又利用金星来标记其相距的远近，在黄昏后和黎明前验证确定星宿的度数，从而得到太阳的运行轨迹。现在用至元丁丑年四月癸酉望日的月全食，推算出冬至时太阳在赤道上的位置是箕宿十度，在黄道上是九度有余。并从那年正月到己卯年年底，三年之间，每天测量月亮所经过的宿次以及木星、金星相距的度数，经过验证参考，共得到一百三十四次观测结果，都显示太阳在箕宿，恰好与月食的冲点相符。用金朝赵知微所修订的大明历法推算，冬至时太阳仍在斗宿初度三十六分六十四秒，比新测量的实际位置差了七十六分六十四秒。
日行盈缩
太阳运行的盈缩
日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。人徒知日行一度，一岁一周天，曾不知盈缩损益，四序有不同者。北齐张子信积候合蚀加时，觉日行有入气差，然损益未得其正。赵道严复准晷景长短，定日行进退，更造盈缩以求亏食。至刘焯立躔度，与四序升降，虽损益不同，后代祖述用之。
日月的运行，有冬季和夏季的不同，意思是说日月运行的度数，冬季和夏季各不相同。人们只知道太阳每天运行一度，一年绕天一周，却不知道其运行有盈缩增减，四季各有不同。北齐的张子信通过长期观测日月合食的时刻，发现太阳运行有节气上的误差，但增减的规律并未完全正确。赵道严又根据日影的长短，确定太阳运行的进退，重新制定盈缩规律来推算日食月食。到刘焯建立了太阳运行的度数，与四季的升降变化相对应，虽然增减的数值不同，但后代历法都沿用他的方法。
夫阴阳往来，驯积而变，冬至日行一度强，出赤道二十四度弱，自此日轨渐北，积八十八日九十一分，当春分前三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而适平。自后其盈日损，复行九十三日七十一分，当夏至之日，入赤道内二十四度弱，实行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分尽损而无余。自此日轨渐南，积九十三日七十一分，当秋分后三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而复平。自后其缩日损，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，实行九十一度三十一分，复当冬至，向之缩分尽损而无余。盈缩均有损益，初为益，末为损。自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陆转而西，西而南，于盈为益，益极而损，损至于无余而缩。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陆转而东，东而北，于缩为益，益极而损，损至于无余而复盈。盈初缩末，俱八十八日九十一分而行一象；缩初盈末，俱九十三日七十一分而行一象；盈缩极差，皆二度四十分。由实测晷景而得，仍以算术推考，与所测允合。
阴阳的往来，逐渐积累而发生变化。冬至时太阳每天运行一度多一点，从赤道外二十四度弱的位置开始，此后太阳的轨道逐渐北移，经过八十八天九十一分，在春分前三天，到达赤道，实际运行了九十一度三十一分，此时运行速度适中。此后其盈度逐渐减少，再经过九十三天七十一分，到夏至那天，进入赤道内二十四度弱的位置，实际运行了九十一度三十一分，太阳每天运行一度弱，之前的盈度全部减少而消失。此后太阳的轨道逐渐南移，经过九十三天七十一分，在秋分后三天，再次到达赤道，实际运行了九十一度三十一分，又恢复适中。此后其缩度逐渐减少，经过八十八天九十一分，从赤道外二十四度弱的位置，实际运行了九十一度三十一分，再次到达冬至，之前的缩度全部减少而消失。盈缩都有增减，开始时是增加，结束时是减少。从冬至到春分，从春分到夏至，太阳的运行从北陆转向西，再转向南，在盈的阶段是增加，增加到极点后开始减少，减少到消失后进入缩的阶段。从夏至到秋分，从秋分到冬至，太阳的运行从南陆转向东，再转向北，在缩的阶段是增加，增加到极点后开始减少，减少到消失后再次进入盈的阶段。盈的开始和缩的结束，都是八十八天九十一分运行一个象限；缩的开始和盈的结束，都是九十三天七十一分运行一个象限；盈缩的最大差值都是二度四十分。这是通过实际测量日影而得到的，再用算术推算验证，与测量结果完全相符。
月行迟疾
月亮运行的迟疾
古历谓月平行十三度十九分度之七。汉耿寿昌以为日月行至牵牛、东井，日过度，月行十五度，至娄、角，始平行，赤道使然。贾逵以为今合朔、弦、望、月食加时，所以不中者，盖不知月行迟疾意。李梵、苏统皆以月行当有迟疾，不必在牵牛、东井、娄、角之间，乃由行道有远近出入所生。刘洪作乾象历，精思二十余年，始悟其理，列为差率，以囿进退损益之数。后之作历者，咸因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之数，得月行疾徐之理。
古代历法认为月亮平均每天运行十三度十九分之七。汉代的耿寿昌认为日月运行到牵牛、东井时，太阳超过一度，月亮运行十五度，到娄、角时才开始匀速运行，这是赤道造成的。贾逵认为现在合朔、弦、望、月食的时刻之所以不准确，是因为不知道月亮运行有迟疾的道理。李梵、苏统都认为月亮运行应该有迟疾，不一定只在牵牛、东井、娄、角之间，而是由于运行轨道有远近出入造成的。刘洪编写乾象历，精心思考二十多年，才领悟其中的道理，列出差值，来概括进退增减的数值。后来编写历法的人都沿用他的方法。到唐代的一行，考察九道蜿蜒曲折的数值，得到了月亮运行快慢的规律。
先儒谓月与五星，皆近日而疾，远日而迟。历家立法，以入转一周之日，为迟疾二历，各立初末二限，初为益，末为损。在疾初迟末，其行度率过于平行；迟初疾末，率不及于平行。自入转初日行十四度半强，从是渐杀，历七日，适及平行度，谓之疾初限，其积度比平行余五度四十二分。自是其疾日损，又历七日，行十二度微强，向之益者尽损而无余，谓之疾末限。自是复行迟度，又历七日，适及平行度，谓之迟初限，其积度比平行不及五度四十二分。自此其迟日损，行度渐增，又历七日，复行十四度半强，向之益者亦损而无余，谓之迟末限。入转一周，实二十七日五十五刻四十六分，迟疾极差皆五度四十二分。旧历日为一限，皆用二十八限。今定验得转分进退时各不同，今分日为十二，共三百三十六限，半之为半周限，析而四之为象限。
先儒认为月亮和五星都是靠近太阳时运行快，远离太阳时运行慢。历法家制定规则，以月亮运行一周天的时间，分为迟和疾两种历法，各设立初限和末限，初限是增加，末限是减少。在疾初限和迟末限，其运行速度通常超过平均速度；在迟初限和疾末限，通常低于平均速度。从进入转周的第一天开始，月亮每天运行十四度半强，从此逐渐减少，经过七天，正好达到平均速度，这称为疾初限，其累积度数比平均速度多五度四十二分。此后其快度逐渐减少，又经过七天，运行十二度微强，之前增加的部分全部减少而消失，这称为疾末限。此后又进入慢速运行，又经过七天，正好达到平均速度，这称为迟初限，其累积度数比平均速度少五度四十二分。此后其慢度逐渐减少，运行速度逐渐增加，又经过七天，再次运行十四度半强，之前增加的部分也减少而消失，这称为迟末限。月亮运行一周天，实际为二十七天五十五刻四十六分，迟疾的最大差值都是五度四十二分。旧历法每天作为一个限，共使用二十八限。现在经过验证，发现转分的进退时刻各不相同，现在将一天分为十二份，共三百三十六限，一半为半周限，再四分之一为象限。
白道交周
白道与黄道的交点周期
月道出入日道，两相交值，当朔则日为月所掩，当望则月为日所冲，故皆有食。然涉交有远近，食分有深浅，皆可以数推之。所谓交周者，月道出入日道一周之日也。日道距赤道之远，为度二十有四。月道出入日道，不逾六度；其距赤道也，远不过三十度，近不下十八度。出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象；月当黄道为正交，出黄道外六度为半交，复当黄道为中交，入黄道内六度为半交，是为四象。象别七日，各行九十一度，四象周历，是谓一交之终，以日计之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，终而复始。正交在春正，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。正交在秋正，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。中交在春正，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋正，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。月道与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交宿度，东西不及十四度三分度之二。夏至在阴历内，冬至在阳历外，月道与赤道所差者多；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月道与赤道所差者少。盖白道二交，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直者密而狭，斜者疏而阔，其差亦从而异。今立象置法求之，差数多者不过三度五十分，少者不下一度三十分，是为月道与赤道多少之差。
月亮的运行轨道与太阳的运行轨道相交，当两者相遇时，如果是朔日（初一），太阳就会被月亮遮蔽；如果是望日（十五），月亮就会被太阳冲撞，因此都会发生日食或月食。然而，交会的距离有远近，食分的深浅也不同，这些都可以通过数学推算出来。所谓“交周”，是指月亮轨道与太阳轨道相交一周所需的时间。太阳轨道与赤道的距离是二十四度。月亮轨道出入太阳轨道，不超过六度；它距离赤道，最远不超过三十度，最近不下十八度。月亮轨道在黄道之外称为“阳”，进入黄道之内称为“阴”，阴阳一周，分为四象；月亮正好在黄道上称为“正交”，出黄道外六度称为“半交”，再次回到黄道称为“中交”，进入黄道内六度也称为“半交”，这就是四象。每象相隔七天，各自运行九十一度，四象运行一周，称为一交的结束，按天数计算，是二十七天二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退行天度一度又九十三分（即1.93度），总共二百四十九交，退行天度一周有余，如此周而复始。正交在春分点时，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。正交在秋分点时，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。中交在春分点时，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋分点时，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。月亮轨道与赤道的正交，距离春秋二分时黄道与赤道的正交宿度，东西方向不超过十四度又三分之二度。夏至在阴历内，冬至在阳历外时，月亮轨道与赤道的差值较大；夏至在阳历外，冬至在阴历内时，差值较小。因为白道的两个交点，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直的轨道紧密而狭窄，斜的轨道稀疏而宽阔，其差值也因此不同。现在设立图像和方法来推算，差值大的不超过三度五十分，小的不少于一度三十分，这就是月亮轨道与赤道之间多少的差值。
昼夜刻
昼夜刻
日出为昼，日入为夜，昼夜一周，共为百刻。以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。无间南北，所在皆同。昼短则夜长，夜短则昼长，此自然之理也。春秋二分，日当赤道出入，昼夜正等，各五十刻。自春分以及夏至，日入赤道内，去极浸近，夜短而昼长。自秋分以及冬至，日出赤道外，去极浸远，昼短而夜长。以地中揆之，长不过六十刻，短不过四十刻。地中以南，夏至去日出入之所为远，其长有不及六十刻者；冬至去日出入之所为近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏至去日出入之所为近，其长有不止六十刻者；冬至去日出入之所为远，其短有不及四十刻者。今京师冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故昼刻三十八，夜刻六十二；夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故昼刻六十二，夜刻三十八。盖地有南北，极有高下，日出入有早晏，所以不同耳。今授时历昼夜刻，一以京师为正，其各所实测北极高下，具见天文志。
太阳出来就是白天，太阳落下就是夜晚，昼夜循环一周，总共一百刻。用十二时辰来划分，每个时辰得八刻又三分之一刻。无论南方北方，各地都一样。白天短则夜晚长，夜晚短则白天长，这是自然的道理。春分和秋分时，太阳正好在赤道上升落，昼夜相等，各为五十刻。从春分到夏至，太阳进入赤道内，离北极越来越近，夜晚短而白天长。从秋分到冬至，太阳在赤道外，离北极越来越远，白天短而夜晚长。以中原地区为标准，白天最长不超过六十刻，最短不少于四十刻。中原以南，夏至时离太阳出入的地方较远，白天长度有不到六十刻的；冬至时离太阳出入的地方较近，夜晚长度有超过四十刻的。中原以北，夏至时离太阳出入的地方较近，白天长度有超过六十刻的；冬至时离太阳出入的地方较远，夜晚长度有不到四十刻的。如今京城（大都，今北京）冬至时太阳在辰初刻二刻升起，申正二刻落下，所以白天三十八刻，夜晚六十二刻；夏至时太阳在寅正二刻升起，戌初二刻落下，所以白天六十二刻，夜晚三十八刻。这是因为地方有南北差异，北极星高度有高低，太阳出入有早晚，所以不同。现在《授时历》中的昼夜刻数，一律以京城为准，各地实测的北极星高度，详见《天文志》。
校勘记
校勘记
卷五十一
卷五十一
卷五十三
卷五十三