卷第八 方程
〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。
问︰上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉，九斗、四分斗之一，
中禾一秉，四斗、四分斗之一，
下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。
卷第八 方程
〔一〕现有上等禾三捆，中等禾二捆，下等禾一捆，总共有三十九斗；
上等禾二捆，中等禾三捆，下等禾一捆，总共有三十四斗；
上等禾一捆，中等禾二捆，下等禾三捆，总共有二十六斗。
问：上、中、下等禾每捆各有多少斗？
答：
上等禾每捆九又四分之一斗，
中等禾每捆四又四分之一斗，
下等禾每捆二又四分之三斗。
方程术的方法是：将上等禾三捆、中等禾二捆、下等禾一捆、实三十九斗放在右边。中间和左边的禾列法与右边相同。用右边行的上等禾数遍乘中间行，然后直接相减。再乘下一行，也直接相减。然后用中间行中中等禾的剩余数遍乘左边行，再直接相减。左边行下等禾的剩余数，上面作为法，下面作为实。实就是下等禾的实。求中等禾时，用法乘中间行下等禾的实，再减去下等禾的实。余数除以中等禾的捆数，就是中等禾的实。求上等禾时，也用法乘右边行下等禾的实，再减去下等禾和中等禾的实。余数除以上等禾的捆数，就是上等禾的实。实都除以法，各得一斗。
〔二〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问︰上、下禾实一秉各几何？
荅曰：上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。
术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。
〔二〕现有上等禾七捆，减少实一斗，加上下等禾二捆，实为十斗。下等禾八捆，增加实一斗，加上上等禾二捆，实为十斗。问：上、下等禾每捆实各是多少？
答：上等禾每捆实一又五十二分之十八斗，下等禾每捆实五十二分之四十一斗。
解法：按方程方法。减少的称为益，增加的称为损。减少实一斗，是因为其实超过十斗。增加实一斗，是因为其实不足十斗。
〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问︰上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实二十五分斗之九，
中禾一秉实二十五分斗之七，
下禾一秉实二十五分斗之四。
术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。
正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。
〔三〕现有上等禾二捆，中等禾三捆，下等禾四捆，实都不满一斗。上等禾取中等禾一捆，中等禾取下等禾一捆，下等禾取上等禾一捆，实就满一斗。问：上、中、下等禾每捆实各是多少？
答：
上等禾每捆实二十五分之九斗，
中等禾每捆实二十五分之七斗，
下等禾每捆实二十五分之四斗。
解法：按方程方法，分别放置所取的数量，用正负术处理。
正负术的方法是：同号相减，异号相加，正数没有可减的变成负，负数没有可减的变成正。异号相减，同号相加，正数没有可加的变成正，负数没有可加的变成负。
〔四〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问︰上、下禾实一秉各几何？
荅曰：上禾一秉五升，下禾一秉二升。
术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。
〔四〕现有上等禾五捆，减少实一斗一升，相当于下等禾七捆。上等禾七捆，减少实二斗五升，相当于下等禾五捆。问：上、下等禾每捆实各是多少？
答：上等禾每捆五升，下等禾每捆二升。
解法：按方程方法，放置上等禾五捆为正，下等禾七捆为负，减少实一斗一升为正。再放置上等禾七捆为正，下等禾五捆为负，减少实二斗五升为正。用正负术处理。
〔五〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问︰上、下禾实一秉各几何？
荅曰：上禾一秉实八升，下禾一秉实三升。
术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。
〔五〕现有上等禾六捆，减少实一斗八升，相当于下等禾十捆。下等禾十五捆，减少实五升，相当于上等禾五捆。问：上、下等禾每捆实各是多少？
答：上等禾每捆实八升，下等禾每捆实三升。
解法：按方程方法，放置上等禾六捆为正，下等禾十捆为负，减少实一斗八升为正。再放置上等禾五捆为负，下等禾十五捆为正，减少实五升为正。用正负术处理。
〔六〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问︰上、下禾实一秉各几何？
荅曰：上禾一秉实八斗，下禾一秉实三斗。
术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。
〔六〕现有上等禾三捆，增加实六斗，相当于下等禾十捆。下等禾五捆，增加实一斗，相当于上等禾二捆。问：上、下等禾每捆实各是多少？
答：上等禾每捆实八斗，下等禾每捆实三斗。
解法：按方程方法，放置上等禾三捆为正，下等禾十捆为负，增加实六斗为负。再放置上等禾二捆为负，下等禾五捆为正，增加实一斗为负。用正负术处理。
〔七〕今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问︰牛羊各直金几何？
荅曰：牛一，直金一两、二十一分两之一十三，羊一，直金二十一分两之二十。
术曰：如方程。
〔七〕现有牛五头、羊二只，值金十两。牛二头、羊五只，值金八两。问：牛和羊各值金多少？
答：一头牛值金一又二十一分之十三两，一只羊值金二十一分之二十两。
解法：按方程方法。
〔八〕今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问︰牛、羊、豕价各几何？
荅曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。
术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。
〔八〕现有卖牛二头、羊五只，用来买十三头猪，剩余钱一千。卖牛三头、猪三头，用来买九只羊，钱正好够。卖羊六只、猪八头，用来买五头牛，钱不足六百。问：牛、羊、猪的价格各是多少？
答：牛价一千二百，羊价五百，猪价三百。
解法：按方程方法，放置牛二、羊五为正，猪十三为负，剩余钱数为正；再放置牛三为正，羊九为负，猪三为正；再放置牛五为负，羊六为正，猪八为正，不足钱为负。用正负术处理。
〔九〕今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问︰燕、雀一枚各重几何？
荅曰：雀重一两、一十九分两之十三，燕重一两、一十九分两之五。
术曰：如方程，交易质之，各重八两。
〔九〕现有五只雀、六只燕，放在秤上称，雀都重，燕都轻。一只雀和一只燕交换位置，秤正好平衡。燕和雀的总重为一斤。问：一只燕和一只雀各重多少？
答：雀重一又十九分之十三两，燕重一又十九分之五两。
解法：按方程方法，交换位置称量，各重八两。
〔一〇〕今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问︰甲、乙持钱各几何？
荅曰：甲持三十七钱半，乙持二十五钱。
术曰：如方程，损益之。
〔一〇〕现有甲、乙二人持钱，不知数量。甲得到乙的一半钱后，有五十钱；乙得到甲的三分之二钱后，也有五十钱。问：甲、乙各持钱多少？
答：甲持三十七钱半，乙持二十五钱。
解法：按方程方法，用增减法处理。
〔一一〕今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问︰牛、马价各几何？
荅曰：马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。
术曰：如方程，损益之。
〔一一〕现有二匹马、一头牛的价格超过一万钱，超过的部分相当于半匹马的价格。一匹马、二头牛的价格不足一万钱，不足的部分相当于半头牛的价格。问：牛、马的价格各是多少？
答：马价五千四百五十四又十一分之六钱，牛价一千八百一十八又十一分之二钱。
解法：按方程方法，用增减法处理。
〔一二〕今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问︰武、中、下马一匹各力引几何？
荅曰：武马一匹力引二十二石、七分石之六，
中马一匹力引十七石、七分石之一，
下马一匹力引五石、七分石之五。
术曰：如方程各置所借，以正负术入之。
〔一二〕现有武马一匹，中马二匹，下马三匹，都载四十石到坡前，都不能上去。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，就都能上去。问：武、中、下马每匹的拉力各是多少？
答：武马一匹拉力二十二又七分之六石，
中马一匹拉力十七又七分之一石，
下马一匹拉力五又七分之五石。
解法：按方程方法，分别放置所借的数量，用正负术处理。
〔一三〕今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；
乙三绠不足，如丙一绠；
丙四绠不足，如丁一绠；
丁五绠不足，如戊一绠；
戊六绠不足，如甲一绠。
如各得所不足一绠，皆逮。问︰井深、绠长各几何？
荅曰：井深七丈二尺一寸。
甲绠长二丈六尺五寸，
乙绠长一丈九尺一寸，
丙绠长一丈四尺八寸，
丁绠长一丈二尺九寸，
戊绠长七尺六寸。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一三〕现有五家共用一口井，甲用二根绳不够，差乙的一根绳；
乙用三根绳不够，差丙的一根绳；
丙用四根绳不够，差丁的一根绳；
丁用五根绳不够，差戊的一根绳；
戊用六根绳不够，差甲的一根绳。
如果各得到所差的一根绳，就都够到了。问：井深和绳长各是多少？
答：井深七丈二尺一寸。
甲绳长二丈六尺五寸，
乙绳长一丈九尺一寸，
丙绳长一丈四尺八寸，
丁绳长一丈二尺九寸，
戊绳长七尺六寸。
解法：按方程方法，用正负术处理。
〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问︰白、青、黄、黑禾实一步各几何？
荅曰：
白禾一步实一百一十一分斗之三十三，
青禾一步实一百一十一分斗之二十八，
黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，
黑禾一步实一百一十一分斗之一十。
术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。
〔一四〕现有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满一斗。白禾取青、黄各一步，青禾取黄、黑各一步，黄禾取黑、白各一步，黑禾取白、青各一步，实就满一斗。问：白、青、黄、黑禾每步实各是多少？
答：
白禾一步实一百一十一分之三十三斗，
青禾一步实一百一十一分之二十八斗，
黄禾一步实一百一十一分之十七斗，
黑禾一步实一百一十一分之十斗。
解法：按方程方法，分别放置所取的数量，用正负术处理。
〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问︰甲、乙、丙禾一秉各重几何？
荅曰：
甲禾一秉重二十三分石之十七，
乙禾一秉重二十三分石之十一，
丙禾一秉重二十三分石之十。
术曰：如方程，置重过于石之物为负。以正负术入之。
〔一五〕现有甲禾二捆、乙禾三捆、丙禾四捆，重量都超过一石。甲禾二捆的重量等于乙禾一捆，乙禾三捆的重量等于丙禾一捆，丙禾四捆的重量等于甲禾一捆。问：甲、乙、丙禾每捆各重多少？
答：
甲禾一捆重二十三分之十七石，
乙禾一捆重二十三分之十一石，
丙禾一捆重二十三分之十石。
解法：按方程方法，将重量超过一石的物品设为负。用正负术处理。
〔一六〕今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问︰令、吏、从者食鸡各几何？
荅曰：
令一人食一百二十二分鸡之四十五，
吏一人食一百二十二分鸡之四十一，
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一六〕现有令一人、吏五人、从者十人，吃鸡十只；令十人、吏一人、从者五人，吃鸡八只；令五人、吏十人、从者一人，吃鸡六只。问：令、吏、从者每人吃鸡各多少？
答：
令一人吃一百二十二分之四十五只鸡，
吏一人吃一百二十二分之四十一只鸡，
从者一人吃一百二十二分之九十七只鸡。
解法：按方程方法，用正负术处理。
〔一七〕今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。问︰羊、犬、鸡、兔价各几何？
荅曰：
羊价一百七十七，
犬价一百二十一，
鸡价二十三，
兔价二十九。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一七〕现有五只羊、四条狗、三只鸡、两只兔，值钱一千四百九十六；四只羊、两条狗、六只鸡、三只兔，值钱一千一百七十五；三只羊、一条狗、七只鸡、五只兔，值钱九百五十八；两只羊、三条狗、五只鸡、一只兔，值钱八百六十一。问：羊、狗、鸡、兔的价格各是多少？
答：
羊价一百七十七，
狗价一百二十一，
鸡价二十三，
兔价二十九。
解法：按方程方法，用正负术处理。
〔一八〕今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、答二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、答五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、答六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、答九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、答八斗、黍五斗，直钱九十五。问︰一斗直几何？
荅曰：
麻一斗七钱，
麦一斗四钱，
菽一斗三钱，
答一斗五钱，
黍一斗六钱。
术曰：如方程，以正负术入之。
〔一八〕现有麻九斗、麦七斗、菽三斗、答二斗、黍五斗，值钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、答五斗、黍三斗，值钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、答六斗、黍四斗，值钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、答九斗、黍四斗，值钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、答八斗、黍五斗，值钱九十五。问：每斗各值多少钱？
答：
麻一斗七钱，
麦一斗四钱，
菽一斗三钱，
答一斗五钱，
黍一斗六钱。
解法：按方程方法，用正负术处理。