卷第九 句股
卷第九 勾股
〔一〕今有句三尺，股四尺，问︰为弦几何？
荅曰：五尺。
〔一〕已知勾三尺，股四尺，问：弦是多少？
答：五尺。
〔二〕今有弦五尺，句三尺，问︰为股几何？
荅曰：四尺。
〔二〕已知弦五尺，勾三尺，问：股是多少？
答：四尺。
〔三〕今有股四尺，弦五尺，问︰为句几何？
荅曰：三尺。
〔三〕已知股四尺，弦五尺，问：勾是多少？
答：三尺。
句股术曰：句股各自乘，并，而开方除之，即弦。
又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即句。
又句自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股。
勾股术说：勾和股各自相乘，相加，再开平方，就是弦。
又，股自乘，用弦自乘减去它，剩下的开平方，就是勾。
又，勾自乘，用弦自乘减去它，剩下的开平方，就是股。
〔四〕今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问︰广几何？
荅曰：二尺四寸。
术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘减之，其余开方除之，即广。
〔四〕已知圆形木材直径二尺五寸，要制成方形木板，要求厚度七寸。问：宽度是多少？
答：二尺四寸。
解法：让直径二尺五寸自乘，用七寸自乘减去它，剩下的开平方，就是宽度。
〔五〕今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问︰葛长几何？
荅曰：二丈九尺。
术曰：以七周乘三尺为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。
〔五〕已知木头长二丈，周长三尺。葛藤从下面生长，缠绕木头七圈，上端与木头齐平。问：葛藤长多少？
答：二丈九尺。
解法：用七圈乘以三尺作为股，木头长度作为勾，为它求弦。弦，就是葛藤的长度。
〔六〕今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问︰水深、葭长各几何？
荅曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。
〔六〕已知方形水池边长一丈，芦苇生长在池中央，露出水面一尺。把芦苇拉向岸边，恰好与岸边齐平。问：水深、芦苇长各是多少？
答：水深一丈二尺；芦苇长一丈三尺。
解法：池边长的一半自乘，用露出水面一尺自乘，减去它，剩下的，用露出水面的两倍去除，就得到水深。加上露出水面的数，得到芦苇长。
〔七〕今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问︰索长几何？
荅曰：一丈二尺、六分尺之一。
术曰：以去本自乘，令如委数而一，所得，加委地数而半之，即索长
〔七〕已知竖立的木桩，绳子系在顶端，下垂到地面三尺。拉着绳子后退行走，离开木桩根部八尺时绳子拉尽。问：绳子长多少？
答：一丈二尺又六分之一尺。
解法：用离开根部的距离自乘，让它除以垂地数，所得，加上垂地数再除以二，就是绳子长。
〔八〕今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问︰木几何？
荅曰：五丈五寸。
术曰：以垣高十尺自乘，如却行尺数而一，所得，以加却行尺数而半之，即木长数。
〔八〕已知墙高一丈。把木头斜靠在墙上，上端与墙齐平。拉着木头后退一尺，木头下端触到地面。问：木头长多少？
答：五丈五寸。
解法：用墙高十尺自乘，除以后退的尺数，所得，加上后退的尺数再除以二，就是木头的长度。
〔九〕今有圆材，埋在壁中，不知大小。以鐻鐻之，深一寸，鐻道长一尺。问︰径几何？
荅曰：材径二尺六寸。
术曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。
〔九〕已知圆形木材，埋在墙壁中，不知道大小。用锯子锯它，锯入一寸深，锯道长一尺。问：直径是多少？
答：木材直径二尺六寸。
解法：锯道长的一半自乘，除以深度一寸，加上深度一寸，就是木材直径。
〔一〇〕今有开门去阃一尺，不合二寸。问︰门广几何？
荅曰：一丈一寸。
术曰：以去阃一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一，所得，增不合之半，即得门广。
〔一〇〕已知开门时门离开门坎一尺，门扇之间不合拢二寸。问：门宽多少？
答：一丈一寸。
解法：用离开门坎一尺自乘，所得，除以不合拢的二寸的一半，所得，加上不合拢的一半，就得到门宽。
〔一一〕今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问︰户高、广各几何？
荅曰：广二尺八寸；高九尺六寸。
术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实，半其余。以开方除之，所得，减相多之半，即户广。加相多之半，即户高。
〔一一〕已知门的高度比宽度多六尺八寸，两对角之间的距离恰好一丈。问：门的高度、宽度各是多少？
答：宽度二尺八寸；高度九尺六寸。
解法：让一丈自乘作为被除数。取多出数的一半，让它自乘，加倍，减去被除数，取剩下的一半。开平方，所得，减去多出数的一半，就是门宽。加上多出数的一半，就是门高。
〔一二〕今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问︰户高、广、袤各几何？
荅曰：广六尺，高八尺，袤一丈。
术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得加从不出即户广，加横不出即户高，两不出加之，得户袤。
〔一二〕已知门不知道高度和宽度，竹竿不知道长短。横着放门宽不够四尺，竖着放门高不够二尺，斜着放恰好出去。问：门的高度、宽度、对角线各是多少？
答：宽度六尺，高度八尺，对角线一丈。
解法：竖着不够和横着不够的尺数相乘，加倍，再开平方。所得加上竖着不够的尺数就是门宽，加上横着不够的尺数就是门高，两个不够的尺数相加，得到门的对角线。
〔一三〕今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问︰折者高几何？
荅曰：四尺、二十分尺之十一。
术曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以减竹高而半其余，即折者之高也。
〔一三〕已知竹子高一丈，竹梢折断触地，离根部三尺。问：折断处高多少？
答：四尺又二十分之十一尺。
解法：用离根部的距离自乘，让它除以竹高，所得，用竹高减去它，再取剩下的一半，就是折断处的高度。
〔一四〕今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问︰甲乙行各几何？
荅曰：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之。
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。
〔一四〕已知两人站在同一地点。甲的速度率为七，乙的速度率为三。乙向东走。甲向南走十步后斜向东北与乙会合。问：甲、乙各走了多少？
答：乙向东走十步半；甲斜向走十四步半追上乙。
解法：让七自乘，三也自乘，相加再除以二，作为甲斜向走的速率。斜向走的速率减去七自乘，余数为向南走的速率。用三乘以七作为乙向东走的速率。设向南走十步，用甲斜向走的速率乘它，另设十步，用乙向东走的速率乘它，各自作为被除数。除以向南走的速率，各得到行走的步数。
〔一五〕今有句五步，股十二步。问︰句中容方几何？
荅曰：方三步、十七分步之九。
术曰：并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步。
〔一五〕已知勾五步，股十二步。问：勾中容纳的正方形边长是多少？
答：正方形边长三步又十七分之九步。
解法：勾和股相加作为除数，勾和股相乘作为被除数，被除数除以除数，得到正方形的一步边长。
〔一六〕今有句八步，股十五步。问︰句中容圆，径几何？
荅曰：六步。
术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以句乘股，倍之为实。实如法得径一步。
〔一六〕已知勾八步，股十五步。问：勾中容纳的圆，直径是多少？
答：六步。
解法：八步作为勾，十五步作为股，为它求弦。三个数相加作为除数，用勾乘以股，加倍作为被除数。被除数除以除数得到直径的一步。
〔一七〕今有邑方二百步，各中开门。出东门十五步有木。问︰出南门几何步而见木？
荅曰：六百六十六步、太半步。
术曰：出东门步数为法，半邑方自乘为实，实如法得一步。
〔一七〕已知正方形城边长二百步，每边中间开门。出东门十五步有树。问：出南门多少步能看到树？
答：六百六十六步又三分之二步。
解法：出东门的步数作为除数，城边长的一半自乘作为被除数，被除数除以除数得到一步。
〔一八〕今有邑，东西七里，南北九里，各中开门。出东门十五里有木。问︰出南门几何步而见木？
荅曰：三百一十五步。
术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。
〔一八〕已知城，东西七里，南北九里，每边中间开门。出东门十五里有树。问：出南门多少步能看到树？
答：三百一十五步。
解法：东门到南角的步数，乘以南门到东角的步数作为被除数。用树到门的步数作为除数。被除数除以除数。
〔一九〕今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问︰邑方几何？
荅曰：一里。
术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。
〔一九〕已知正方形城边长不知道大小，每边中间开门。出北门三十步有树，出西门七百五十步看到树。问：城边长多少？
答：一里。
解法：让两个出门的步数相乘，然后乘以四，作为被除数。开平方，就得到城边长。
〔二〇〕今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问︰邑方几何？
荅曰：二百五十步。
术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。并出南门步数为从法，开方除之，即邑方。
〔二〇〕已知正方形城边长不知道大小，每边中间开门。出北门二十步有树。出南门十四步，折向西走一千七百七十五步看到树。问：城边长多少？
答：二百五十步。
解法：用出北门的步数乘以向西走的步数，加倍，作为被除数。加上出南门的步数作为带开方的除数，开平方，就是城边长。
〔二一〕今有邑方十里，各中开门。甲乙俱从邑中央而出。乙东出；甲南出，出门不知步数，邪向东北磨邑，适与乙会。率甲行五，乙行三。问︰甲、乙行各几何？
荅曰：甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。乙东行四千三百一十二步半。
术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率。邪行率减于五自乘者，余，为南行率。以三乘五，为乙东行率。置邑方半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。以增邑方半，即南行。置南行步求弦者，以邪行率乘之，求东者以东行率乘之，各自为实。实如南行率得一步。
〔二一〕已知正方形城边长十里，每边中间开门。甲和乙都从城中央出发。乙向东出城；甲向南出城，出门不知道步数，斜向东北沿着城边走，恰好与乙会合。甲的速度率为五，乙的速度率为三。问：甲、乙各走了多少？
答：甲出南门八百步，斜向东北走四千八百八十七步半，追上乙。乙向东走四千三百一十二步半。
解法：让五自乘，三也自乘，相加再除以二，作为斜向走的速率。斜向走的速率减去五自乘，余数作为向南走的速率。用三乘以五，作为乙向东走的速率。设城边长的一半，用向南走的速率乘它，除以向东走的速率，就得到出南门的步数。加上城边长的一半，就是向南走的步数。设向南走的步数，求弦时，用斜向走的速率乘它，求东向时用向东走的速率乘它，各自作为被除数。除以向南走的速率得到一步。
〔二二〕有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问︰木去人几何？
荅曰：三十三丈三尺三寸、少半寸。
术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。
〔二二〕有树离人不知道远近。立四根标杆，彼此相距各一丈，让左边两根标杆与所望的树成一直线。从后右标杆望去，视线进入前右标杆三寸。问：树离人多少？
答：三十三丈三尺三寸又三分之一寸。
解法：让一丈自乘作为被除数，用三寸作为除数，被除数除以除数。
〔二三〕有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问︰山高几何？
答曰：一百六十四丈九尺六寸、太半寸。
术曰：置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一，所得，加木高即山高。
〔二三〕有山在树的西边，不知道它的高度。山离树五十三里，树高九丈五尺。人站在树东三里，看树梢恰好与山峰斜着齐平。人眼高七尺。问：山高多少？
答：一百六十四丈九尺六寸又三分之二寸。
解法：设树高减去人眼高七尺，余数，用它乘以五十三里作为被除数。用离树的距离三里作为除数。被除数除以除数，所得，加上树高就是山高。
〔二四〕今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问︰井深几何
荅曰：五丈七尺五寸。
术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实。以入径四寸为法。实如法得一寸。
〔二四〕已知井口直径五尺，不知道它的深度。在井上竖立五尺长的木头，从木头顶端看水岸，视线进入井口直径四寸。问：井深多少？
答：五丈七尺五寸。
解法：设井口直径五尺，用进入直径的四寸减去它，余数，用它乘以竖立木头五尺作为被除数。用进入直径的四寸作为除数。被除数除以除数得到一寸。