志第七 历一 ◄
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卷三十二
卷三十二
志第八 历二
志第八 历二
志第八 历二
志第八 历二
▲大统历法一上法原
▲大统历法一上 法原
造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
制作历法的人各有其本源，史书应当详细记录，使后世能够考证。比如《太初历》以音律为起数，《大衍历》以蓍草占卜为开端，都在本志中有详细记载。《授时历》以测算技术为根本，只求与天象吻合，不牵强附会音律、卦爻。然而其方法的确立、数据的来源，以及日影、星度等，都有完整的著作。在郭守敬、齐履谦的传记中，有书名可以考证。《元史》随意采集，仅保存了李谦的《议禄》、《历经》初稿。后来修改三应率及立成之数，以及割圆弧矢的方法、平立定三差的原理，全部删去不载。致使作者的精心构思湮没无闻，有见识的人对此感到遗憾。现在根据《大统因通轨》及《历草》等书，稍加编排，首先讲法原，其次讲立成，再次讲推步。而法原的条目有七项：勾股测望、弧矢割圆、黄赤道内外度、白道交周、日月五星平立定三差、里差刻漏。
▲句股测望
▲勾股测望
北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。
在北京竖立四丈高的表杆，冬至日正午，测得影长七丈九尺八寸五分。随即用简仪测得太阳南至地平二十六度四十六分半，作为半弧背。求得矢度五度九十一分半。取周天半径，截去矢度后剩余五十四度九十六分作为股，这是本地支撑太阳下方的度数。用弦和股通过勾股术，求得勾二十六度十七分六十六秒，作为太阳出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
在北京竖立四丈高的表杆，夏至日正午，测得影长一丈一尺七寸一分。随即用简仪测得太阳南至地平七十四度二十六分半，作为半弧背。求得矢度四十三度七十四分少。取周天半径，截去矢度后剩余一十七度一十三分二十五秒作为勾，这是本地离开太阳下方的度数。用勾和弦通过勾股术，求得股五十八度四十五分半，作为太阳出地半弧弦。
以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度。
将冬至和夏至的日度相加，得到一百度七十三分，折半得到五十度三十六分半，这是北京赤道出地度数。用赤道出地度数减去周天的四分之一，剩余四十度九十四分九十三秒七十五微，这是北京北极出地度数。
▲弧矢割圆
▲弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。少不用。半径六十零度八十七分半。又为黄赤道大弦。二至黄赤道内外半弧背二十四度。所测就整。二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。半径内减去矢度之数。
周天直径一百二十一度七十五分少（“少”不用）。半径六十度八十七分半，又作为黄赤道大弦。二至时黄赤道内外半弧背二十四度（测量取整）。二至时黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大勾二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒（半径减去矢度后的数值）。
割圆求矢术 置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。黄赤道同用。
割圆求矢的方法：将半弧度自乘，得到半弧背的平方；将周天直径自乘，得到上廉。上廉乘以半弧背的平方，得到正实。上廉乘以直径，得到益从方。半弧背加倍，乘以直径，得到下廉。用初商乘以上廉，所得数值减去益从方，剩余为从方。将初商自乘后从下廉中减去，剩余乘以初商，得到从廉。从方和从廉相加，得到下法。下法乘以初商，减去正实；如果实不够减，则调整初商。如果实有余数，则依次商除。将初商加倍，与次商相加，乘以上廉，所得数值减去益从方，剩余为从方。将初商和次商相加后自乘，再加上初商自乘的数值，从下廉中减去这两数之和，剩余乘以初商倍数加次商，得到从廉。从方和从廉相加，得到下法。下法乘以次商，减去余实，从而确定次商。如果还有余数，按同样方法继续商除，所得商数即为矢度数值。黄道和赤道通用此法。
如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。不足一秒叶不用，下同。
例如用半弧背一度求矢。方法：将半弧背一度自乘，得到一度，作为半弧背的平方。将周天直径一百二十一度太自乘，得到一万四千八百二十三度零六分二十五秒，作为上廉。上廉乘以半弧背的平方，得到一万四千八百二十三度零六分二五，作为正实。上廉再乘以直径，得到一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，作为益从方。半弧背一度加倍，得到二度，乘以直径得到二百四十三度五十分，作为下廉。初商为八十秒。将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得到一百一十八度五八四五，从益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五中减去，剩余一百八十万四千五百八十九度二七四八七五，作为从方。再将初商八十秒自乘，得到六十四微，从下廉中减去，剩余二百四十三度四九九三六。仍用八十秒乘之，得到一度九四七九九九四八八，作为从廉。将从廉和从方相加，共得一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，作为下法。下法乘以初商，得到一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，从正实中减去，余实为三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商为二秒。将初商八十秒加倍，得到一分六十秒。加上次商二秒，得到六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得到二百四十度一三三六一二五，从益从方中减去，剩余一百八十万四千四百六十七度二五七六二五，作为从方。再将初商和次商八十二秒自乘，得到六十七微。加上初商八十秒自乘的数值，得到一秒三十一微，从下廉中减去，剩余二百四十三度四九九八六九。用之前得到的一分六十二秒乘之，得到三度九十四分四六九七八七七八，作为从廉。将从廉和从方相加，得到一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，作为下法。下法乘以次商，得到三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，从余实中减去，仍剩余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。不足一秒的部分舍弃不用，以下相同。
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。数详后。
总共求得矢度八十二秒，其余度数各按上述方法，求得的矢度作为黄赤道相互推算及其内外度的基础。具体数值详见后文。
▲黄赤道差
▲黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之大股见割圆为实。黄赤道大弦半径为法。实如法而一，为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，即黄道半弧背。余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径亦为赤道大弦乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，亦为赤道横小句以赤道大弦即半径乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以差加赤道半弧，为赤道积度。
求黄赤道各度下赤道积度的方法：将周天半径减去黄道矢度，剩余为黄赤道小弦。将黄赤道小弦乘以黄赤道大股（大股见割圆部分），作为实。以黄赤道大弦（半径）为法。实除以法，得到黄赤道小股。将黄道矢自乘作为实，以周天全径为法，实除以法，得到黄道半背弦差。用这个差减去黄赤道积度，即得黄道半弧背。剩余为黄道半弧弦。将黄赤道半弧弦自乘作为股幕，黄赤道小股自乘作为勾幕，两幕相加，用开平方法除之，得到赤道小弦。将黄赤道半弧弦乘以周天半径（也是赤道大弦），作为实，以赤道小弦为法除之，得到赤道半弧弦。将黄赤道小股（也是赤道横小勾）乘以赤道大弦（即半径），作为实，以赤道小弦为法除之，得到赤道横大勾，用半径减去它，剩余为赤道横弧矢。将横弧矢自乘作为实，以全径为法除之，得到赤道半背弦差。用这个差加上赤道半弧，得到赤道积度。
如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：「置半径六十零度八十七分五十秒，即黄赤道大弦。内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道小股。又为赤道小句。置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径即赤道大弦乘之，得六十零度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，又为赤道小句。以赤道大弦半径六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。
例如黄道半弧背一度，求赤道积度。方法：取半径六十度八十七分五十秒（即黄赤道大弦），减去黄道矢八十二秒，剩余六十度八六六八，作为黄赤道小弦。将黄赤道小弦乘以黄赤道大股五十六度零二六八，得到三千四百一十度一七二零三零二四作为实，以黄赤道大弦六十度八七五为法，实除以法，得到五十六度零一分九十二秒，作为黄赤道小股，也作为赤道小勾。将矢度八十二秒自乘，得到六十七微，以全径一百二十一度七五为法除之，得到五十五纤，作为黄道平半背弦差。将黄道半弧弦一度减去黄道半背弦差，剩余为半弧弦，但因差在微以下不减去，即直接用一度作为半弧弦。将黄道半弧弦一度自乘，得到一度作为股幕。黄赤道小股五十六度零一九二自乘，得到三千一百三十八度一五零七六八六四作为勾幕。两幕相加得到三千一百三十九度一五零七六八六四作为弦实，用开平方得到五十六度零二八一，作为赤道小弦。将黄道半弧弦一度乘以半径（即赤道大弦），得到六十度八七五作为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得到一度零八分六十五秒，作为赤道半弧弦。将黄赤道小股五十六度零一九二（也作为赤道小勾）乘以赤道大弦半径六十度八七五，得到三千四百一十度一六八八作为实，以赤道小弦为法除之，得到六十度八十六分五十三秒，作为赤道横大勾。取半径六十度八十七分五十秒，减去赤道大勾六十度八十六分五十三秒，剩余九十七秒，作为赤道横弧矢。将赤道横弧矢九十七秒自乘，得到九十四微零九，以全径为法除之，得到七十纤，作为赤道背弦差。将赤道半弧弦一度零八分六十五秒加上赤道背弦差，得到赤道积度，现在差在微以下不加上，即直接用半弧弦作为积度。
凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。
总共求得赤道积度一度零八分六十五秒。其余度数各按上述方法，求得各黄道度下的赤道积度，两数相减，即得黄赤道差，这是冬至后的比率。至于春分后，用赤道度求黄道度，反过来求之，数值相同。
▲黄赤道相求弧矢诸率立成上
▲黄赤道相求弧矢诸率立成上
表格略
（表格略）
▲黄赤道相求弧矢诸率立成下
▲黄赤道相求弧矢诸率立成下
表格略
（表格略）
按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合于浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。
按：郭守敬创立五种方法，其中一种叫黄道差，这是它的根本比率。旧法用一百一度相减相乘。《授时历》建立方法，用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的关系，求其数值差，符合浑天仪的原理，比古代更为精密。但《至元历经》所载简略，又误将黄道矢度作为积差，黄道矢差作为比率，现在加以纠正。
▲割圆弧矢图
▲割圆与弧矢图
凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。
凡是把浑圆体从中间剖开，就形成平圆。任意截取平圆的一部分，形成弧矢形状，都有弧背、弧弦和矢。把弧矢形再对半剖开，就有半弧背、半弧弦和矢。根据弦、矢构成的勾股形，以半弧弦为勾，矢减去半径的剩余部分为股，半径为弦。在勾股形内再形成小勾股形，就有小勾、小股、小弦，而且大小可以互相推算，平面和侧面可以互相运用，浑圆的原理，这样就很接近了。
平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。
平面的是赤道，倾斜的是黄道。根据二至时黄道与赤道的距离，产生大勾股形。根据各度黄道与赤道的距离，产生小勾股形。
外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
外面的大圆是赤道。从北极平视，黄道在赤道之内，赤道有各度，就各有其半弧弦，用来产生大勾股形。又各有其对应的黄道半弧弦，用来产生小勾股形。这两者都可以互相推算。
按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。
按旧史中没有图，但表格也属于图的一类。现在的勾股割圆和弧矢方法，实际上是历法家测算的根本。没有图就不明白，因此保存其中几个要点。
▲黄赤道内外度
▲黄道与赤道的内外度数
推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，即半径。除之为黄赤道小弧弦。即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小句。置黄赤道小弧矢自之，即赤道二弦差。以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。
推算黄道各度距离赤道内外以及距离北极远近的方法。取半径减去赤道小弦，余数为赤道二弦差。又作为黄赤道小弧矢，又作为内外矢，又作为股弦差。取半径内外减去黄道矢度，余数为黄赤道小弦，用二至时黄赤道内外半弧弦乘它作为被除数，用黄赤道大弦作为除数，即半径。相除得到黄赤道小弧弦。也就是黄赤道内外半弧弦，又作为黄赤道小勾。取黄赤道小弧矢自乘，即赤道二弦差。用全径除它，得到半背弦差。用这个差加上黄赤道小弧弦，得到黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度数。取黄赤道内外度数，看在盈初缩末限就加，在缩初盈末限就减，都加减象限度，就各得到太阳距离北极的度数分数。
如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：「置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。即内外矢。置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。即内外半弧弦。置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。
例如冬至后四十四度，求太阳距离赤道内外以及距离北极的度数。方法说：「取半径六十度八十七分半，减去黄道四十四度下的赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，作为黄赤道小弧矢。即内外矢。取半径六十度八七五，减去黄道四十四度的矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四度三十零分六十八秒，作为黄赤道小弦。取黄赤道小弦，用二至时黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘它，得一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，用黄赤道大弦六十度八七五作为除数除它，得一十七度二十五分十九秒作为黄赤道小弧弦。即内外半弧弦。取黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，用全径一百二十一度七十五分除它，得五分二十一秒作为背弦差，用这个差加上黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，作为二至前后四十四度时太阳距离赤道内外度数。取象限九十一度三十一分四十三秒七五，加上内外度一十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，作为冬至后四十四度时太阳距离北极的度数。
▲黄道每度去赤道内外及去北极立成
▲黄道每度距离赤道内外及距离北极的表格
表格略
表格略
▲白道交周
▲白道交周
推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：「置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。
推算白道与赤道正交，距离黄道与赤道正交的北极度数。方法说：「取实测白道出入黄道内外六度作为半径弧弦，又作为大圆弧矢，又作为股弦差。取半径六十度七五自乘，得三千七百零五度七六五六二五，用矢六度除它，得六百一十七度六十三分作为股弦和，加上矢六度，共六百二十三度六十三分作为大圆直径。依法求得容阔五度七十分，又作为小勾。又用二至出入半弧弦二十三度七十一分作为大勾。以大勾作为除数，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分取整作为度差。用度差乘小勾，得小股一十三度四十七分八十二秒，作为容半长。取半径六十度八七五作为大弦，用它乘小勾五度七十分作为被除数，用大勾二十三度七十一分作为除数除它，得一十四度六十三分作为小弦，又作为白道与赤道正交距离黄道与赤道正交的半弧弦。依法求得行半弧背一十四度六十六分，作为白道与赤道正交距离黄道与赤道正交的北极度数。